Geometrische Folgerungen 351 
gedrückt. Wir halten es für angebracht, wenigstens einige Lehrsätze 
hervorzuheben, die aus diesen Formeln folgen. 
a) Da — 1 < cos v < + list, folgt aus dem ersten Kosinussatze: 
cos (a + b) < cos c < cos (a — b). 
Nun gehört bei zwei Winkeln, die zwischen 0° und 180° liegen, 
zum kleineren Winkel der größere Kosinus. Wenn daher a > bb und 
a + b< 180° ist, so muß sein: 
a+b>c>a-hb. 
Diese Beziehungen gelten aber offenbar auch in den ausgeschlossenen 
Fällen und somit allgemein. 
Indem man die erste, soeben angegebene Beziehung auf das dritte 
Nebendreieck anwendet, findet man: 
(180° — a) + (180° —b)> € 
der: 
360° >a +b+e. 
b) Die dritte Formel (13) können wir in der Form schreiben: 
cos (180° — y) = cos « cos ß — sin « sin ß cos c. 
Demnach führt die unter a) angestellte Betrachtung auf die Be- 
ziehungen: ; 
&—ßB<180°—y <«+Bß, 
sowie auf die Ungleichheit: 
«+ ßB—y<180°% 
Hierin sind die Sätze enthalten: 
„Jeder Außenwinkel eines sphärischen Dreiecks ist größer als die 
Differenz und kleiner als die Summe der Innenwinkel, an denen er nicht 
legt.“ 
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„Der Überschuß der Summe zweier Winkel eines sphärischen 
Dreiecks über den dritten ist kleiner als zwei Rechte.“ 
c) Der Satz, daß gleichen Seiten eines Dreiecks gleiche Winkel 
gegenüberliegen, geht unmittelbar aus dem ersten, seine Umkehrung 
aus dem zweiten Kosinussatze hervor. 
d) Aus den beiden Kosinussätzen folgt, daß ein sphärisches Dreieck 
eindeutig bestimmt ist 
x) durch die drei Seiten, 
3) durch die drei Winkel, 
v) durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, 
3) durch eine Seite und die anliegenden Winkel. 
Wenn zwei sphärische Dreiecke übereinstimmen in zwei Seiten a, 
b und dem Gegenwinkel « der einen, so ergeben sich aus dem Sinussatze 
für den Winkel ß zwei Werte, die sich zu zwei Rechten ergänzen. Indem