352 8 20. Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
wir den Fall ausschließen, daß die Gegenwinkel der anderen Seite Sup- 
plemente voneinander sind, finden wir, daß die Dreiecke auch noch im 
Winkel ß übereinstimmen. Alsdann gestatten die dritten Gleichungen 
11) und (18), die Werte von cos c und cos y eindeutig zu bestimmen, 
wenn nur das Produkt sin a -sin b-sin «-sin ß von eins verschieden ist. 
Der Ausnahmefall, in dem dies Produkt den Wert eins annimmt und 
damit a =b =a=ß=90° ist, wird aber schon durch unsere Forderung 
ausgeschlossen, nach der die Werte, die der Winkel ß in den beiden 
Dreiecken erhält, einander nicht zu 180° ergänzen sollen. 
Eine ähnliche Betrachtung können wir für zwei Dreiecke anstellen, 
die in zwei Winkeln und der Gegenseite des einen übereinstimmen. Dem- 
nach gilt der Doppelsatz: 
„Wenn zwei sphärische Dreiecke in zwei (wien } und | SM ee 
winkel der einen] LE La: (Gogenwinkel der anderen 
; ; übereinstimmen, ohne daß die ; 
seite des einen 20 Gegenseiten des anderen! 
sich zu zwei Rechten ergänzen, so stimmen sie in allen Stücken überein.“ 
e) Wenn in zwei sphärischen Dreiecken, von denen das eine a, b, c, 
X, ß, 7, das andere a’, b', c', «', ß', y' zu Umfangsstücken hat, a = a’, 
b = b', aber y > y' ist, so ist nach der dritten Gleichung (11) auch 
c>c'. Ebenso geht aus der Voraussetzung: a = a', b=b', c> c' die 
Folgerung y > y' hervor. In gleicher Weise folgt aus der dritten Glei- 
ehung (13), daß für « = «', ß=ß', y>yV' auch ce > c' und für x = w', 
3 = ß', c>c' auch y > y' sein muß. Hiernach ergeben sich vier Lehr- 
sätze, von denen wir einen aussprechen wollen: 
„Wenn zwei sphärische Dreiecke in zwei Seiten übereinstimmen, 
der eingeschlossene Winkel im ersten aber größer ist als im zweiten, 
so ist auch die dritte Seite im ersten größer als im zweiten.“ 
9. Die Nepersche Regel für das rechtwinklige sphärische 
Dreieck. In Nr. 3 haben wir zehn Gleichungen, nämlich die Gleichungen 
(6), (7), (8) angegeben, durch die die Seiten und Winkel eines rechtwink- 
ligen sphärischen Dreiecks miteinander verbunden werden. Aus diesen 
Formeln ergeben sich mehrere Lehrsätze für das rechtwinklige sphärische 
Dreieck, von denen wir zwei aussprechen wollen. 
„Die Hypotenuse eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks ist kleiner 
oder größer als ein Quadrant, je nachdem sich unter den Katheten eine 
gerade oder ungerade Anzahl von solchen befinden, die einen Quadranten 
übersteigen.“ 
„Je nachdem eine Kathete kleiner oder größer ist als ein Quadrant, 
ist auch ihr Gegenwinkel spitz oder stumpf.“ 
Die zehn Gleichungen (6), (7), (8) lassen sich in folgender Weise 
schreiben: