Nepersche Regel 
cos c = sin (90° — «) -sin (90° — b) = cotg «- cotg ß 
cos « = sin (90° — a) -sin ß = cotg (90° — b) cotg € 
cos (90° — b) = sin c-sin ß = cotg (90° — a) cotg « 
cos (90° — a) = sin«-sin c = cotg (90° — b) cotg ß 
(cos ß = sin « - sin (90° — b) = cotg c-cotg (90° — a). 
Diese Formeln können durch folgende Regel zusammengefaßt werden, 
lie Neper ‚aufgestellt hat: 
Man schreibe die Seiten und die Winkel eines rechtwinkligen sphärischen 
Dreiecks, wie sie unter Weglassung des rechten Winkels aufeinander folgen, 
an die Peripherie eines Kreises, indem man jede Kathete durch ihr Komnle- 
ment ersetzt; alsdann ist der Kosinus einer jeden dieser fünf Größen erstens 
gleich dem Produkte aus den Sinus der nicht anliegenden Stücke und zweitens 
gleich dem Produkte aus den Kotangenten der anliegenden Stücke. 
Diese Regel bietet nicht nur ein bequemes Mittel, die zehn Formeln 
im Gedächtnis zu behalten, sondern sie ordnet auch jedes rechtwinklige 
sphärische Dreieck in einen Zyklus von fünf Dreiecken ein, die unter- 
einander in einem natürlichen Zusammenhange stehen, da sie sämtlich 
außer dem rechten Winkel dieselben fünf Umfangsstücke in derselben Folge, 
aber in verschiedener Bedeutung enthalten. Nachdem wir die fünf Stücke 
(15) C, &, 90° — b, 90° — a, ß 
an den Umfang eines Kreises gesetzt haben, sind sie, weil hierbei c sich 
wieder an ß anschließt, zu einem Zyklus vereinigt, in welchem sie genau 
so aufeinander folgen, wie im Dreieck selbst. Jetzt leiten wir aus dem 
gegebenen Dreieck /, der Reihe nach vier Dreiecke A,, A,, Az, 4, da- 
durch her, daß wir im Zyklus (15) jedes Umfangsstück durch das folgende 
arsetzen. Hierbei wollen wir uns auf den Fall beschränken, daß in A, 
die Katheten. und damit auch die Hypotenuse und die ihr anliegenden 
Winkel kleiner sind als 90°. Die Umfangsstücke eines jeden Dreiecks /, 
für v=0, 1,...4) sollen durch Anhängen der Marke v bezeichnet werden, 
Demnach setzen wir in A, die Hypotenuse gleich c,, die Katheten gleich a,, 
b, und ihre Gegenwiunkel gleich w«,, ß,. Alsdann leiten wir aus dem Drei- 
eck A,._ı das Dreieck A, durch die Forderung her, daß sein soll: 
u = Ay) U = 90° — by 1, 90° — by = 90° — Or— 1, 
909° — Ay = By, By = Ge 
Daß die neuen Größen in einem rechtwinkligen Dreieck vereinigt 
sind, erkennt man unmittelbar aus den Gleichungen (14). Konstruiert 
nan etwa ein rechtwinkliges Dreieck aus c, = x, _ı und «, = 90° — by, 
so ist in ihm wegen der Gleichungen (14) auch ß, = c,_ 1, 90°— a,= ßy_1 
and 90° — d,= 90°— ay_1. So führt die Nepersche Regel von einem 
rechtwinkligen sphärischen Dreieck A, der Reihe nach zu den Dreiecken 
4,, 4;, 4;, A, und von dem letzten zum Dreieck A, zurück, 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II 
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