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292 8 2. Der erste Unterricht in der ebenen Trigonometrie 
zwei Dreiecke in den Seiten b, c übereinstimmen, aber der Winkel « im 
ersten größer ist als im zweiten, so hat das Produkt 2bc cos « für das 
erste Dreieck einen kleineren Wert als für das zweite. Daher ist auch 
nach (5) die Seite a im ersten Dreieck größer als im zweiten. 
Ebenso geht die Umkehrung dieses Satzes aus dem Verlauf des 
Kosinus für hohle Winkel hervor. 
Der Schüler sieht ohne Zweifel ein, daß man berechtigt ist, den 
Sinus und den Kosinus durch die aufgestellte Forderung zu definieren. 
Dennoch ist es gut, die Berechtigung auf einem anschaulichen Wege zu 
zeigen. Zu dem Ende empfiehlt es sich, an die Figur anzuknüpfen, durch 
die der Verlauf von Sinus und Kosinus für spitze Winkel veranschaulicht 
wird. Wir gehen wieder von einem rechtwinkligen Dreieck ABC aus, 
für das der Punkt 4 und der Halbstrahl AC eine feste Lage AX hat. 
Zudem soll die Länge der Seite AB ungeändert bleiben. Jetzt stellt 
das Verhältnis BC : AB den Sinus des Winkels BAC dar. Das soll sich 
aicht ändern, wenn der Winkel BAC über einen Rechten hinaus wächst 
and stumpf wird. Dabei bleibt aber die Strecke BC auf derselben Seite 
der Geraden AC; ihr Vorzeichen bleibt also ungeändert. Wählen wir 
die Punkte B und B' in gleichem Abstande von der Geraden AC und 
außerdem die Strecken AB und A4C' gleich groß, so haben die beiden 
Senkrechten BC und B'’C', die auf AC gefällt werden können, dieselbe 
Maßzahl. Da sie zudem auf derselben Seite von AC liegen, so müssen 
die Verhältnisse BC : AB und B'C' : A B' einander gleich gesetzt werden. 
Es ist also sin (180° — @«) = sin «. Dagegen sind die Strecken AC und 
AC' zwar von gleicher Größe, aber von entgegengesetzter Richtung. 
Setzen wir wieder & XAB = « und demnach << XAB'=180° — «, 
30 ist cos «x = AC: AB, cos (180° — «) = AC': AB'. Hierbei sind die 
Strecken AB und AB' nur nach ihrer absoluten Länge in Betracht zu 
ziehen. Da aber AC'=— AC ist, folgt die Beziehung: cos (180° — x) = 
— COS &. 
Man kann auch die Seite AB zur Längeneinheit wählen. Dann 
Jürfen wir sin XAB = BC, cos XAB = AC setzen. Wählt man die 
Punkte B und B' auf derselben Seite von AX so, daß sie bei gleicher 
Länge von AB und AB' gleichen Abstand von der Geraden 4X haben, 
30 ist sin XAB' = B'C', cos XAB' = AU. Daraus gehen wieder die 
beiden aufgestellten Gleichungen hervor. 
Auf diese Weise ergeben sich auch die Werte des Sinus und des 
Kosinus für einen rechten Winkel. Immerhin ist es ganz gut, diese Werte 
zuch aus der Forderung herzuleiten, daß die Formeln (2), (3), (4) auch 
für rechtwinklige Dreiecke gelten sollen. 
5. Das Additionstheorem der trigonometrischen Funk- 
tionen. Ersetzt man in der letzten Gleichung (4), unter Anwendung 
ler Formeln (3), a durch 2r-sin«, b durch 2r-sin ß, c durch 2r.sinV 
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