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Vergleich der verschiedenen Methoden 355 
lie Strecke miteinander bilden. Dieser Satz ermöglicht es, die trigonometrischen 
Funktionen zu definieren. Er führt auf den Projektionssatz, aus dem nicht nur 
lie Gesetze über den Verlauf der Funktionen, sondern auch ihre Additionstheo- 
reme hervorgehen. Der Projektionssatz braucht nur zweimal angewandt zu werden, 
ım den ersten sphärischen Kosinussatz zu begründen, aus dem alle übrigen Be- 
ziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreiecks durch 
oloße Rechnung gewonnen werden können. So verleiht diese Methode der ganzen 
Trigonometrie den höchsten Grad von Einheitlichkeit. Sie zeichnet sich aber auch 
Jurch volle Allgemeinheit aus. Man hat nicht nötig, der Figur Beschränkungen 
anfzulegen, von denen man sich allmählich frei macht; die Methode behält ihre 
Gültigkeit sogar noch bei, wenn man den Begriff des sphärischen Dreiecks er- 
weitert (vgl. $ 25). Aus diesem Grunde durfte der Beweis hier nicht fehlen, wenn 
er auch bei seinem abstrakten Charakter für die Schule nicht geeignet ist. 
Der in Nr. 2 mitgeteilte Beweis hat ebenfalls große Vorzüge. Er umfaßt nicht 
nur alle Eulerschen Dreiecke, sondern bleibt bei einer kleinen Veränderung auch für 
den erweiterten Dreiecksbegriff gültig. Zudem führt er nicht nur auf den ersten 
Kosinussatz, sondern auch auf den Sinussatz und den Sinus-Kosinussatz. Auch setzt er 
aur eine einfache Formel der analytischen Geometrie der Ebene und die ersten 
Begriffe der mathematischen Geographie voraus. Sein Verständnis macht aber den 
Schülern zu große Schwierigkeit, als daß er beim Unterricht benutzt werden könnte. 
Wenn man, wie in Nr. 3 und 4, das rechtwinklige Dreieck an die Spitze 
stellt, so schließt man sich eng an die Methode an, die beim Unterricht in der 
»benen Trigonometrie allgemein gebräuchlich ist. Auch bieten die rechtwinkligen 
Dreiecke einen so reichen Übungsstoff, daß ihre gesonderte Behandlung gerecht- 
(ertigt ist. Der Übergang zum schiefwinkligen Preieck ist einfach und übersichtlich, 
Manche Lehrbücher beschränken sich auf solche rechtwinklige Dreiecke, indenen 
die beiden Katheten kleiner sind als ein Quadrant, ohne die übrigen Möglichkeiten 
zu erwähnen. Das ist schon aus dem Grunde nicht gestattet, weil man in den An- 
wendungen mit dieser Beschränkung nicht auskommt. Gewiß ist es ein Mangel 
dieser Methode, daß man bei der Herleitung verschiedene Möglichkeiten unterscheiden 
nuß. Aber dieser Mangel wird durch ihre großen Vorzüge reichlich ausgeglichen 
Wenn man das rechtwinklige Dreieck an die Spitze stellt, so wird man die 
Nepersche Regel besprechen, ehe man zum schiefwinkligen Dreieck übergeht. 
Daß der von Lagrange gegebene Beweis (Nr. 5) nicht gering eingeschätzt 
werden darf, geht schon daraus hervor, daß Gauß sich eingehend mit ihm be- 
’aßt hat. In der Tat bietet er dem Verständnis keine Schwierigkeit und kommt 
nit kurzen und einfachen Rechnungen aus. Man muß allerdings mit Gauß dem 
Beweise einige Zusätze beifügen; aber daraus erwachsen keine eigentlichen Schwierig- 
zeiten. Nachdem man alsdann noch den Sinussatzh und mit Hilfe des Polar- 
1) Der Sinussatz läßt sich auf folgendem Wege rein geometrisch beweisen. 
Von einem beliebigen Punkte U der Kante 04 des Dreikants 0(4 BC) füllt man 
die Senkrechte UH auf die Ebene 0 BC und die Senkrechte UV auf 0B und UW 
auf OC. Dann steht auch VH auf OB und WH auf OC senkrecht. Folglich ist 
UH=UW-sinUWH=UV.sin UVE. 
Da aber 
UW=0U-8sin UOW, UV=00U-sin UOV 
ist, so ergibt sich die Formel: 
sin UOW sin UWH=8sin UOV-sin UVHE. 
Nun ist < UO V entweder gleich € oder 180° —c, < UOW entweder gleich b 
oder 180°— bb, <UVH entweder gleich ß oder 180°—ß, < UWH entweder 
zleich y oder 180° — y. Unsere Beziehung liefert also den Sinussatz,. 
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