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strahlen, die die Winkel des sphärischen Dreiecks 4 BC halbieren, durch
einen Punkt O0 im Innern des Dreiecks, der die Eigenschaft hat, daß die
Fußpunkte D, E, F der auf BC, CA, AB gefällten Senkrechten auf
den Seiten selbst liegen und die sphärischen Strecken 0D, OE, OF
einander gleich sind. Da zudem diese Strecken kleiner als 90° sind,
ist O der Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte D, E, F gelegt
werden kann. Dieser wird als der innere Berührungskreis oder der
Inkreis des Dreiecks bezeichnet. Sein Radius wird gleich o gesetzt.
‚Indem wir die Gegenpunkte von 4, B, C mit A', B’, C' bezeichnen,
nennen wir A'BC das erste, AB'C das zweite und ABC’ das dritte
Nebendreieck. Die Radien ihrer Inkreise, der Ankreise von ABC, sollen
mit 0,, 02, Os» Ihre Mittelpunkte mit 0,, 0,, Oz bezeichnet werden. Die
Berührungspunkte des Kreises (0,) mit den Seiten BC, CA', A'B seien
Indem wir diese Bezeichnung anwenden, wird (vgl. 8 10, 6 8. 181):
AE=AF=5,, BF=BD=8%, CD=CE=$%
AB, = AF, = 7080 -D+080°0 _ 1800 _ 5 usw.
also:
AB, = AF, =) BF =BD=S,, CD =CH =.
Demnach ist:
Halbwinkelsatz
ta“ go _ to, oß _ MO _HinS
g 2 sin S, sin s, g 9 Sin 5. Tg &
Daraus folet:
go __ sin s, , a we
ER, ns! tg o-tg 9, = SIN SS, - SIN Sg.
Es gelten somit die Formeln:
. Sin Ss, - Sin S, - Sin S, sin s - Sin. S, - sin. s,
fe Y 1 8 2 3 y NV ML zz - 7 ®
(3) tg O9 Sin 8 2 tg 9; sın S, USW
Der Radius des Inkreises ist aber mit den Seiten und den Winkeln
durch die Gleichungen verbunden:
/ «x tgo P__ tige Yy_ tige
4) ig => sins.? tg 2 ains? tg 2 sin s,
Fa
3
Ed
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CO
3
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N E
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A
Den
a
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Diese Gleichungen kommen auf die Gleichungen (2) hinaus.
Unsere Formeln zeigen, daß in den Tripeln: 9, S,, &; 01, So) &; 0,
53, ß je zwei Größen die dritte eindeutig bestimmen. Hierdurch werden
bekannte Sätze der ebenen Geometrie auf die Kugel übertragen.
2. Der Halbseitensatz und die Umkreisradien eines sphäri-
schen Dreiecks und seiner Nebendreiecke. Dieselbe Umformung,
die uns vorhin vom ersten Kosinussatze auf die Formeln (2) geführt hat,
