Andere Form der früheren Gleichungen 361 
„Der Umkreisradius eines sphärischen Dreiecks ergänzt den Inkreis- 
radius seines Polardreiecks zu einem Quadranten.“ 
Die Formeln (12) und (13) sind ganz gleichmäßig gebaut. Diesen 
Vorzug verdanken sie der Benutzung der Größen d,, d,, da, ds, &> Ey 
E2, & Statt der Größen So, Sı> Say Say Dos Tır Gay Os. 
4. Die Delambre -Gaußschen Formeln, die Neperschen 
Analogien und der Tangenssatz. Die Formeln, die wir jetzt be- 
sprechen wollen, sind zuerst von Delambre und etwas später von Gauß 
aufgestellt worden. Während. Delambre in ihnen nur interessante Be- 
ziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreiecks 
sah und ihnen alle praktische Brauchbarkeit absprach, hob Gauß stets 
mit Entschiedenheit den großen Nutzen hervor, den man aus ihnen bei 
Berechnungen ziehen kann. Aus diesem Grunde dürfte es erlaubt sein, 
die Formeln nach Gauß zu benennen. 
Um diese Formeln leicht im Gedächtnis zu behalten, empfiehlt es 
sich, sie in folgender Form zu schreiben: 
cos A cos “ — 
A — 
cos > 
sin a+b 
2 — 
„6 . 
sın 5 sın 
a—b ‚ & 
COS — sin e+? 
2 2 
cc T A 
208 cos 7 
2 
‚ X—ß 
sin — 
2 
Ve 
sin — cos zZ 
5 9 
16) 
a 
5 
% . 
% 
> 
8 
1 
Aus diesen vier Gleichungen gehen acht weitere durch zyklische 
Vertauschung der Seiten und Winkel hervor. 
Wir sehen, daß in den Formeln nur die Sinus und die Kosinus auf- 
treten. In jeder Formel werden zwei Brüche einander gleichgesetzt. Der 
aine Bruch enthält nur Funktionen der Seiten, der andere nur Funk- 
tionen der Winkel, und zwar so, daß die Seiten von derselben Funk- 
tion, die Winkel von verschiedenen Funktionen abhängen. Im Zähler 
steht jedesmal die halbe Summe oder die halbe Differenz von zwei Seiten 
der zwei Winkeln, während der Nenner die halbe dritte Seite oder den 
halben dritten Winkel enthält. Steht in dem einen Zähler ein minus, 
so enthält der andere Zähler einen Sinus;. ebenso entspricht einem plus 
ın dem einen Zähler ein Kosinus im anderen. 
Indem wir den Beweis für die nächsten Nummern zurückstellen, 
weisen wir auf einige geometrische Folgerungen hin, die aus diesen 
Formeln hervorgehen. Nach der ersten Formel (16) sind die Größen 
z +6 und « + ß gleichzeitig größer, ebensogroß oder kleiner als 180°. 
Aus der vierten Formel folgt, daß jedesmal, wenn a > b ist, auch «> ß ist.