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‚891. Berechnung der sphärischen Dreiecke 
6. Herleitung der Gaußschen Formeln aus den Kosinus- 
sätzen. Nach der ersten Formel (11) 8 20, 7 (8. 349) ist: 
sin b-sin c-(1 + cos «) = cos a — cos (b + c) 
oder: 
. . 2 « . . 
sin b-sin c-cos 5 = Sin s,- Sin S,. 
Ebenso folgt: 
sin b-sin c-(1 — cos «) = cos (b — c) — cos a 
oder: 
. . . 9 X . . 
sin b-sin c- sin” = = sin S, - Sin S;. 
Somit erhält man die Formeln: 
Gr — CR A 8iNS, -8iNS, 
, « YÜns -81ns, cos? Yan, cos2—]/% ars b 
19) 0057 = | bene? 085) Mesina 
. —L A ——— # /sins, -sins 
. & Vans eins, sin & Y/Snsslnsı, sin 7 = V San an 
0) sin me? Mo Sn C-sin a 
Da in diesen Formeln den Wurzeln ihr positiver Wert beigelegt 
werden muß und unter dem Wurzelzeichen jedesmal nur positive Größen 
stehen, darf man aus jedem einzelnen Faktor die Quadratwurzel ziehen 
and ihr jedesmal das positive Vorzeichen geben. Demnach gehen aus 
den letzten Gleichungen die folgenden hervor: 
.& ß x. ß 
81IN — COS -— . COS — SIN — . 
“) 2 2 sin s, 2 2 sin s, 
WC eos! since cos? sine 
2 2 
Nun ist: 
. . .. /C a—b .. /C a—b - a—b 
Sin Ss» + Sn S, = sin (5 + “) + sın (= — *5) = 2 SIN 5 COS —— 
SR . ai (5 +°5) sin (£ 7°) = 2 ce . a—b 
Sin 8, — sin S, = sin (; 3 3 3) = 2 cos 5 sin ——- 
Die Addition und. Subtraktion der Gleichungen (c) führt also auf die 
Formeln: 
. —b 
sın LE cos a 
—— >= — 
COS — COS — 
"9 2 
{n gleicher Weise findet man: 
COS = cos E 3 
2 2 81N 8, 
d) PO 2 0% 
.Y sin € 
1nNn — 
. &% , ß 
sin — sin — . 
2 2 SID Sg 
sine 
sin 7