Verschiedene Beweise des Additionstheorems 93 
ınd beachtet, daß sin y = sin (180° — y) = sin (« + ß) ist, so erhält 
man die Gleichung: 
(10) sin (x + ß) = sin « cos ß + cos « sin ß. 
Diese Gleichung ist gültig, solange die Winkel « und ß Winkel 
eines Dreiecks sein können. Demnach gilt unter der Voraussetzung 
180° >« > ß auch die Gleichung: 
sin (180° — « + ß) = sin (180° — «) cos ß + cos (180° — «) sin ß 
oder: sin (x — ß) = sin «+ Ccos ß — cos « sin ß. 
Man kann aber in (10) einmal « durch 90° — x und dann ß durch 
90° + ß ersetzen und auf diese Weise die Formeln für cos (@« — ß) und 
208 (x + ß) herleiten. Dadurch ist das A äditionstheorem der Kreisfunk- 
tionen gewonnen. 
Wir glauben auch noch auf einige andere Herleitungen dieses 
Theorems eingehen zu sollen. An erster Stelle erwähnen wir einen Be- 
weis, den nach einer Bemerkung Simons (Entwicklung der Klementar- 
Mathematik S. 224) Cauchy bereits als Schüler des Polytechnikums 
gegeben hat. Aus den Gleichungen (2) geht unmittelbar für den Flächen- 
inhalt Z die Gleichung hervor: 27=a-b-siny. Man legt zwei spitze 
Winkel u und v so nebeneinander, daß sie einen Schenkel gemein haben, 
and errichtet auf dem gemeinsamen Schenkel eine beliebige Senkrechte, 
Jie auf den freien Schenkeln vom gemeinschaftlichen Scheitel aus die 
Strecken m und n% abschneiden möge. Das so entstandene Dreieck mit 
den Seiten m, ” und dem eingeschlossenen Winkel u + v zerfällt in zwei 
Dreiecke, von denen das eine die Seiten m, %:cos v und den eingeschlossenen 
Winkel u, das andere die Seiten %, mM cos u und den eingeschlossenen 
Winkel v hat. Es besteht also die Gleichung: 
mn sin (w + v)= mn - cos Vv-8iN U + MN. COS uw + 8in v. 
Um in gleicher Weise die Formel für sin (uw — v) zu erhalten, legt 
man für wu > v die spitzen Winkel u und v mit einem Schenkel über- 
einander. Werden durch eine auf dem gemeinschaftlichen Schenkel 
errichtete Senkrechte auf den anderen Schenkeln die Strecken m und % 
abgeschnitten, so stellt sich das Dreieck aus den Seiten m, % und dem 
eingeschlossenen Winkel u — v als Differenz zweier Dreiecke dar, von denen 
das eine die Seiten m, n cos v und den eingeschlossenen Winkel u, das 
andere die Seiten n, m - cos w und den eingeschlossenen Winkel v hat. 
Aus den Formeln für sin (w + 7) und sin (w — v) gehen die Formeln 
für cos (w — v) und cos (w -+ v) in einfacher Weise hervor. 
Vielfach wird auch der ptolemäische Lehrsatz zur Herleitung des 
Additionstheorems benutzt. Legt man an einen Durchmesser BD des 
Kreises (O)r nach verschiedenen Seiten die Winkel BDA = uı und 
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