Geometrischer Beweis für die Neperschen Formeln 369 
Strecke, die den Scheitel des dritten Winkels mit der Mitte der Gegenseite verbindet, 
diesen Winkel und ihre Länge beträgt 90%.“ 
„Wenn ein Eckpunkt eines sphärischen Dreiecks von der Mitte der Gegenseite 
am 90° entfernt ist, so beträgt die Summe der anderen Seiten und die der anderen 
Winkel je 180°.“ 
„Wenn in einem sphärischen Dreieck die Halbierungslinie eines Winkels 
zleich einem Quadranten ist, so sind die beiden anderen Winkel Supplemente von- 
3inander.“ 
„Wenn die Halbierungslinie eines Winkel eines sphärischen Dreiecks durch 
lie Mitte der Gegenseite geht, so sind die einschließenden Seiten entweder gleich 
der Supplemente voneinander.‘‘ 
„In einem sphärischen Dreieck 4 BC, dessen Seiten AC und BC ungleich sind, 
nöge die Halbierungslinie des Winkels C( mit 4 Bin G und mit der Mittelsenkrechten 
zon AB in D zusammentreffen. Zudem sei C’ der Gegenpunkt von CU, I die Mitte 
des Halbstrahls CGC’. Sobald unter der gemachten Annahme zwei der Punkte 
D,G,I zusammenfallen, deckt auch der dritte denselben Ort. Alsdann sind die 
Seiten AC und BC Supplemente voneinander, In jedem anderen Falle liegt D 
zwischen I und G; der Punkt G& liegt aber zwischen C und D oder zwischen C( und 
D. je nachdem die Summe dieser beiden Seiten kleiner oder größer als 1809 ist.‘ 
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9. Bemerkungen über die verschiedenen Beweise der Gaußschen Formeln. 
Der Gaußsche Beweis der Formeln (16) hat hohe Vorzüge. Gleichwie diese Formeln 
beim Übergange zum Polardreieck sich nicht ändern, trägt auch die Herleitung 
3inen polaren Charakter. Auch liefert eine einzige Entwicklung alle vier Formeln, 
Zugleich zeigt sich, daß die Grundformeln der sphärischen Trigonometrie nicht nur 
Jurch das System (a), das den Gleichungen (16) entspricht, sondern auch durch das 
System (b) befriedigt werden, das von den Gleichungen (16) verschieden ist. Dadurch 
weist dieser Beweis auf eine Erweiterung des Dreiecksbegriffes hin (vgl. 8 25). In- 
lessen eignet er sich wohl weniger für die Schule. Ihren Zwecken dürfte der in Nr. 6 
mitgeteilte Beweis am besten entsprechen. Wir möchten aber doch darauf hinweisen, 
laß die analytischen Herleitungen auf Natürlichkeit keinen Anspruch machen können, 
Man sieht ihnen an, daß sie von den fertigen Formeln ausgehen und ihnen erst nach- 
cräglich angepaßt sind. 
Den älteren geometrischen Beweisen, auf die wir in Nr. 7 kurz hingewiesen 
aaben, legt man heute mit Recht nicht mehr die Bedeutung bei, die man ihnen 
früher zusprach. Sollen sie auf Strenge Anspruch machen, so muß man viele Einzel- 
’äalle unterscheiden, die sich schwer übersehen lassen. Allerdings können die be- 
autzten Figuren für manche Konstruktionen auf der Kugel dienlich sein. Indessen 
Jürften Konstruktionen, bei denen jene Hilfslinien auftreten, sich sehwerlich einen 
‘esten Platz im Schulunterricht erobern. 
Der in Nr. 8 mitgeteilte Beweis macht nur die Unterscheidung zweier Fälle 
aötig, die leicht aufeinander zurückgeführt werden können. Auch könnte die Figur, 
die man der Herleitung zugrunde legt, bei der Konstruktion sphärischer Dreiecke 
zenutzt werden. 
10. Die L’Huiliersche Größe. Der Tangenssatz (18) kann aus 
dem Sinussatz durch die sogenannte korrespondierende Addition und 
Subtraktion hergeleitet werden. Wenn also zwischen den vier Größen m, 
n, u, v die Gleichung besteht: 
"a) 
3inm sinu 
— 
3inn sin v 
Killing u. Hovestiadt: mathem. Unterricht II