Fundamental- Aufgaben der sphärischen Trigonometrie 375 
Formel (18), identisch; wird dieser aber mit einem der Gleichungs- 
jaare (31) oder (32) verbunden, so wird man jedesmal auf das andere 
Heichungspaar geführt. Für a + db = 180° gehen die Werte von c und 7 
zus den Gleichungen (32) hervor. Dagegen wird man für @ = Ö ent- 
weder auf das rechtwinklige Dreieck zurückgreifen oder die Formeln (31) 
anwenden, 
Die Gleichungen (31) und (32) zeigen, daß sich für c und. 7 nur 
dann Werte ergeben, die zwischen 0° und 180° liegen, wenn die Diffe- 
renzen a -— b und « — ß dasselbe Vorzeichen haben und außerdem die 
Summen a + b und « + ß entweder beide größer oder beide kleiner als 
180° oder beide gleich 180° sind. Auch genügen diese Bedingungen, wenn 
nicht a = b = 90° ist. 
Wollen wir nach diesen Vorbemerkungen untersuchen, ob einer ge- 
roffenen Wahl von a, b, x ein Dreieck entspricht, so liegt es nach (30) 
nahe, die drei Fälle auseinander zu halten: 
x) sin a > sin b 
3) sin a = sin b 
v) sin a < sin b. 
«) Wenn sin a > sin b ist, so liefert die Gleichung (30) einen einzigen 
positiven Wert von sin ß, der kleiner ist als sin a. Um den Wert von ß 
selbst zu bestimmen, nehmen wir zwei Halbkreise hinzu, von denen jeder 
Jie Längeneinheit zum Radius hat. Der Mittelpunkt des einen Kreises 
sei 0, der des anderen Q; der begrenzende Durchmesser sei beim ersten 
M M', beim zweiten NN’. Auf der in O auf MM' errichteten Senk- 
rechten sei 04, =sina, 0B,=sinb. Ebenso seien auf der Mittel- 
senkrechten von NN! die Strecken Q4A,= sin « und QB, = sin ß ab- 
yetragen. Auf dem ersten Kreise seien die Punkte A,, 4;, B,, 53 so 
gewählt, daß die Punkte 4,, 4,, 4; und die Punkte D,, B,, DB, je in einer 
Parallelen zu MM’ liegen. In entsprechender Weise sollen die Punkte 
A;, Ac, Bs, Be auf dem zweiten Kreise bestimmt werden. Dabei sollen 
die Bögen M4,, MB,, N A;, NBz kleiner, die Bögen M A;, M B;, N Ae, 
N B; größer als 90” sein. Ist jetzt b <a, so ist MB, = arc b; daher muß, 
wie aus der Forderung ß <« hervorgeht, N.B, =arc ß sein. Ebenso muß 
man für MB, = arc b notwendig arc ß = MB, wählen. Demnach ist in 
„eiden Fällen der Winkel ß eindeutig bestimmt, und zwar müssen b und ß 
entweder beide spitz oder beide stumpf sein. Dann sind aber auch, wie 
man leicht sieht, die Summen a +Db und « + ß entweder beide kleiner 
oder beide größer als 180°. Die Größen a, b, « führen daher für sin a > sin b 
stets auf ein einziges Dreieck. 
ß) Wenn sin a = sin b ist, so kann einmal a = b sein. Dann ist auch 
% = ß. Zugleich müssen aber die Differenzen 24 — 180° und 2x — 180"