Full text: Handbuch des mathematischen Unterrichts (2. Band)

376 $ 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke 
dasselbe Vorzeichen haben. Soll daher unter dieser Voraussetzung ein 
Dreieck möglich sein, so müssen die Größen a und « entweder beide 
kleiner oder beide größer als 90° sein. Ist diese Forderung erfüllt, so 
entspricht der Aufgabe ein einziges Dreieck. Nur für a = b = 90° Jarf 
man dem Winkel « bloß den Wert 90° beilegen. Dann ist auch ß = 90 9 
während c = y unbestimmt bleibt. 
Die Gleichung sin a = sin b wird aber auch für a + b = 180° be- 
[riedigt. Sehen wir von dem schon behandelten Falle a = b = 90° ab, 
so muß für a > b auch «> ß und für a <b auch « < p sein. Da aber 
8 = 180° — w« ist, so müssen die Größen a und « entweder zugleich 
spitz oder zugleich stumpf sein. Die Werte von c und y ergeben sich 
zus den Gleichungen (32). 
7) Wenn drittens sin a < sin b ist, so muß nach (30) die Bedingung 
erfüllt sein: 
sin b-sin « < sin a. 
Jetzt benutzen wir wieder die unter «) angegebene Figur. Ist « <90°, 
so wird a <bd, also muß auch «x < ß oder arc x = NA; sein. Dagegen 
wird für a > 90° auch « > ß oder arca« = N Az. Sollen die Stücke a, b, « 
aınter der Bedingung sin a <sin b in einem Dreiecke vorkommen, so 
müssen die Größen a und « entweder beide größer oder beide kleiner 
als 90° sein. Ist diese Bedingung erfüllt und außerdem sin b-sin« <sina, 
30 liefert die Gleichung (30) zwei Werte von ß und führt somit auf zwei 
Dreiecke. Dagegen entspricht der Aufgabe nur ein einziges Dreieck, 
wenn sin b-sin « == sin a ist. 
Die gefundenen Resultate mögen in folgender Weise zusammen- 
zefaßt werden: 
„Wenn von einem Dreieck die Stücke a, b, « gegeben sind und 
3in a > sin b ist, so hat die Aufgabe stets eine einzige Lösung, Ist aber 
3in 4 < sin b, so müssen zuvörderst die Größen a und « entweder beide 
größer oder beide kleiner als 90° oder beide gleich 90° sein. Ist diese 
Bedingung erfüllt, so gibt es für sin a < sin b zwei Dreiecke, 
ein Dreieck oder kein Dreieck, je nachdem sin b sin « kleiner, eben- 
sogroß oder größer als sin a ist. Für sin a = sin b erhält man unter 
der angegebenen Bedingung im allgemeinen ein einziges Dreieck. 
Nur für a=b=90° muß auch x = 90° sein, und das Dreieck wird 
unbestimmt.“ 
f) Durch die angestellte Untersuchung ist auch der Fall erledigt, 
laß a, «, ß gegeben sind. Wir begnügen uns damit, das Resultat aus- 
zusprechen: 
„Die Aufgabe, ein Dreieck aus den Stücken a, &, 6 zu bestimmen, hat 
stets eine einzige Lösung, wenn sin « > sin ß ist. Ist diese Bedingung 
aicht erfüllt, so müssen die Größen a und « entweder beide orößer
	        
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