376 $ 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke
dasselbe Vorzeichen haben. Soll daher unter dieser Voraussetzung ein
Dreieck möglich sein, so müssen die Größen a und « entweder beide
kleiner oder beide größer als 90° sein. Ist diese Forderung erfüllt, so
entspricht der Aufgabe ein einziges Dreieck. Nur für a = b = 90° Jarf
man dem Winkel « bloß den Wert 90° beilegen. Dann ist auch ß = 90 9
während c = y unbestimmt bleibt.
Die Gleichung sin a = sin b wird aber auch für a + b = 180° be-
[riedigt. Sehen wir von dem schon behandelten Falle a = b = 90° ab,
so muß für a > b auch «> ß und für a <b auch « < p sein. Da aber
8 = 180° — w« ist, so müssen die Größen a und « entweder zugleich
spitz oder zugleich stumpf sein. Die Werte von c und y ergeben sich
zus den Gleichungen (32).
7) Wenn drittens sin a < sin b ist, so muß nach (30) die Bedingung
erfüllt sein:
sin b-sin « < sin a.
Jetzt benutzen wir wieder die unter «) angegebene Figur. Ist « <90°,
so wird a <bd, also muß auch «x < ß oder arc x = NA; sein. Dagegen
wird für a > 90° auch « > ß oder arca« = N Az. Sollen die Stücke a, b, «
aınter der Bedingung sin a <sin b in einem Dreiecke vorkommen, so
müssen die Größen a und « entweder beide größer oder beide kleiner
als 90° sein. Ist diese Bedingung erfüllt und außerdem sin b-sin« <sina,
30 liefert die Gleichung (30) zwei Werte von ß und führt somit auf zwei
Dreiecke. Dagegen entspricht der Aufgabe nur ein einziges Dreieck,
wenn sin b-sin « == sin a ist.
Die gefundenen Resultate mögen in folgender Weise zusammen-
zefaßt werden:
„Wenn von einem Dreieck die Stücke a, b, « gegeben sind und
3in a > sin b ist, so hat die Aufgabe stets eine einzige Lösung, Ist aber
3in 4 < sin b, so müssen zuvörderst die Größen a und « entweder beide
größer oder beide kleiner als 90° oder beide gleich 90° sein. Ist diese
Bedingung erfüllt, so gibt es für sin a < sin b zwei Dreiecke,
ein Dreieck oder kein Dreieck, je nachdem sin b sin « kleiner, eben-
sogroß oder größer als sin a ist. Für sin a = sin b erhält man unter
der angegebenen Bedingung im allgemeinen ein einziges Dreieck.
Nur für a=b=90° muß auch x = 90° sein, und das Dreieck wird
unbestimmt.“
f) Durch die angestellte Untersuchung ist auch der Fall erledigt,
laß a, «, ß gegeben sind. Wir begnügen uns damit, das Resultat aus-
zusprechen:
„Die Aufgabe, ein Dreieck aus den Stücken a, &, 6 zu bestimmen, hat
stets eine einzige Lösung, wenn sin « > sin ß ist. Ist diese Bedingung
aicht erfüllt, so müssen die Größen a und « entweder beide orößer