Das Additionstheorem 25 
Wenn sie den Zusammenhang der verschiedenen Formeln genau kennen, 
so kommen sie mit wenig Formeln aus. So werden die Formeln für 
ig («+ ß) in der eigentlichen Trigonometrie sehr selten gebraucht; da 
sie zudem leicht aus den Formeln für sin (« + ß) und cos («x + ß) her- 
geleitet werden können, braucht man sie nicht auswendig lernen zu lassen. 
‚Die Darstellung von sin « und cos x durch Funktionen der halben 
Winkel kann, worauf Haentzschel hingewiesen hat, leicht der An- 
schauung zugänglich gemacht werden. Im Dreieck ABC seien die 
Seiten AB und AC einander gleich; < BAC werde gleich « gesetzt. 
Ferner sei BA um AG = AC verlängert; von A sei die Senkrechte 
AD auf BC und die Senkrechte AEX auf CG und von CU die Senkrechte 
OF auf AB gefällt. Dann ist: | 
na=0F _9.0F BD _ 9. sin “ cos“ 
SM & = ZB BC AB ‚Sin = COS = 
a FE CE 9.067 % 
1 + cos « = gg = 2: 56 ie =? cos“ > 
_BF_ BF OD_ 5 3&, 
1— cos 40 = 77 =2. Ga 4g = 2 sn 5 
Statt dessen können wir auch in einem Kreise (0)r den Zentri- 
winkel F0G = 2« konstruieren. Die Sehne FG werde in L, die beiden 
in F und G&G begrenzten Bögen werden in M und N halbiert. Die 
‚etzten Punkte seien so gewählt, daß L zwischen M und O, und O0 
zwischen L und N liegt. Dann ist: F’L=r sin «, LM=r (1 — cos «) 
LN=r(1-+cos«). Es ist aber auch: FM = 2r sin 5, FN=2r7 cos = 
also FL=FM- cos 5=2r sin 5 COS 5, LM=FM- sin = 27 sin? = 
LN= FN-cos 5 =2r cos? 5- 
Wir halten es nicht für angebracht, an das Additionstheorem viele 
Übungen anzuschließen. Analytische Transformationen gewähren dem 
Schüler nur dann genügendes Interesse, wenn sie mit geometrischen 
Folgerungen verbunden werden. 
Allenfalls mag man die Werte von Sinus und Kosinus der Winkel 
von 45°, 30°, 18°, 36° benutzen um die Kreisfunktionen für die Winkel 
von 3°, 6°, 9°, ...87° zu berechnen (vgl. Heis, Trigonometrie S. 237, 
238). Eine solche Berechnung kann dadurch belebt werden, daß man 
sie in Zusammenhang bringt mit der Theorie von gewissen regelmäßigen 
Vielecken, z. B. der des 15-ecks. 
Der Verlauf der einzelnen Funktionen im Bereiche von 0° bis 180° 
muß an dieser Stelle graphisch dargestellt werden. Zu dem Zwecke kann 
man die Werte der Funktionen (nicht ihrer Logarithmen) einem Tafel - 
werke entnehmen. Wenn man aber die soeben angegebene Berechnung 
der Funktionen für die Winkel von 3 zu 3° hat ausführen lassen, tut 
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