Sinussatz, Tangenssatz, Mollweidesche Formeln 27
Daraus geht der Tangenssatz:
«—ß _ a—b Y
ig — = po 0085
112)
durch Rechnung hervor.
Für die Mollweideschen Formeln gebraucht man meistens zwei
Hilfsdreiecke, die auch für viele Konstruktionsaufgaben von Wichtig-
keit sind. Dagegen wird der Tangenssatz vielfach durch eine Betrach-
tung erwiesen, die nur zum Schein geometrisch ist, in Wirklichkeit aber
auf Rechnung hinauskommt. Wir geben hier eine geometrische Her-
leitung, die uns gestattet, die drei Gleichungen an einer einzigen Figur
zur Anschauung zu bringen.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC werde durch die Halbierende des
Winkels C in D getroffen. Von CB werde unter der Annahme: CB
> CA, die Strecke CE = CA abgetragen und von D die Senkrechte DF
auf CB und die Senkrechte DL auf AB gefällt. Dann ist DA sowohl
zyleich DB als auch gleich DE, also DB= DE; ferner << BDE=CDE
_ CDB = @— ß, also BDF = (« — ß), XCBD=90° — 5 («— ß).
Endlich ist: CF= > (@ +), BF = 5 (a —®). Somit ist DF sowohl
gleich An? tg Zi als auch gleich a2 . cotg A daraus geht der
Tangenssatz hervor.
[ndem wir die beiden Brüche —-— und ——7 _ die beide die
2 cos zZ 2 sin Sl
Maßzahl. der Strecke BD angeben, einander gleich setzen, folgt eine
Mollweidesche Formel.
Endlich sind die Dreiecke CDF und BDL einander ähnlich; somit
ist:
u—ß
a4+b_ OF_ OD _ 4n0BD_ ©”
BL BD sinBCD int
2
x
%)
En
A
7
WEL
a
RR
wr
ar
a
na
Ds 8
6x .
ER
a
air
WW
En
e<
FO]
A
ww.
IX
a
A
x }
Mn
8
Wir möchten noch darauf hinweisen, daß die Figur auch einige
ındere Formeln veranschaulicht. Da << CAD=90°+ z («x — ß) ist,
folgt: CD =2r cos =, also UF =2r cos e sin 5 oder: a + 6
= 4r cos “=P cos Z. Auch ist: BD = 2rsin& BF=BD-sinBDF,
also a—b=4r sin z sin St Die Figur veranschaulicht hiernach auch
die Formeln für sin « + sin ß.
Die Beziehung der Figur zu den Formeln braucht natürlich nicht
im Gedächtnis behalten zu werden.
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten a, b und der eingeschlossene
Winkel v gegeben sind, so findet man die Differenz der beiden anderen
