Segeln im größten Kreise 
Dreiecks ansehen oder diesen Namen nur einer von ihnen vorbehalten. Das erstere 
widerspricht dem Sprachgebrauch, der nur drei Höhen eines sphärischen Dreiecks 
zennt. Auch faßt man, soweit wir sehen, eine Strecke, die von einem Eckpunkt 
ausgeht, auf der Gegenseite senkrecht steht und ganz dem Innern des Dreiecks 
angehört, allgemein als Höhe auf. Eine Schwierigkeit entsteht aber, sobald die 
jeiden Punkte D und D' weder der Seite BC angehören noch mit einem der Punkte 
B oder C zusammenfallen.: Will.man auch in diesem Falle eine der beiden Strecken 
oevorzugen, so kann man die Forderung aufstellen, daß bei jeder stetigen Änderung 
der Eckpunkte eines sphärischen Dreiecks auch die Fußpunkte der Höhen nur stetige 
Änderungen erleiden, eine Forderung, der man leicht eine strenge Form geben kann. 
Diese Forderung kann aber nicht erfüllt werden, wenn man jede im Innern ent- 
haltene Strecke, die von einem Eckpunkt ausgeht und auf der Gegenseite senkrecht 
steht, als Höhe auffaßt. Hält man nämlich einen Eckpunkt A und den Hauptkreis 
fest, in dem die Seite BC liegen soll, so kann nur einer der beiden Punkte D oder 
D’ der Fußpunkt der von 4 gefällten Höhe sein. Jetzt wählt man die Strecken 
BC und B, C, auf dem Hauptkreise so, daß sie gleiche Richtung haben und die 
erste den Punkt D, die zweite den Punkt D’ enthält. Alsdann kann man durch eine 
stetige Anderung den Punkt B nach B, und € nach C, überführen. Soll jedesmal 
lie im Innern enthaltene Strecke als Höhe gelten, so muß ihr Fußpunkt plötzlich 
vom Punkte D in den Punkt D’ übergehen. Um die Stetigkeit zu wahren, kann 
man festsetzen, daß die Höhe höchstens gleich 90° werden soll. Den größten Wert 
nimmt dann die Höhe in dem Falle an, daß die von ihrem Anfangspunkte aus- 
zehenden Seiten gleich einem Quadranten sind. In diesem Ausnahmefalle hat die 
Höhe zwar eine bestimmte Länge, aber kein& feste Lage. Hält man an der Bestim- 
mung fest, daß die Länge einer Höhe den Betrag von 90° nicht überschreiten 
darf, so sind nicht nur in den acht Dreiecken, die von denselben Hauptkreisen ge- 
bildet werden, sondern auch in reziproken Dreiecken entsprechende Höhen ein- 
ander gleich. Im Dreikant kann man dieser Forderung entsprechend als Höhe den 
Winkel ansehen, den eine Kante mit ihrer Projektion auf die Gegenseite bildet. 
Wir haben geglaubt, hierauf hinweisen zu sollen, um zu einer Prüfung an- 
zuregen. Wir möchten uns aber jeder Entscheidung enthalten. 
2. Der Sinus eines sphärischen Dreiecks. Das Produkt aus 
dem Sinus einer Seite eines sphärischen Dreiecks in den Sinus der zu- 
gehörigen Höhe ändert seinen Wert nicht, wenn man die Seiten mit- 
einander vertauscht, und wird aus diesem Grunde von v. Staudt als 
Sinus des sphärischen Dreiecks oder beim Dreikant als Ecken- 
sinus bezeichnet. Setzen wir dies Produkt gleich D, so ist: 
(1) D=sina-sin h, = sin b «sin A, = sin c- sin h, 
= sin b-sin c-sin « = sin c-sin a - sin ß = sin a - sin b - sin y. 
Die Nebendreiecke haben denselben Sinus wie das Dreieck selbst. Da- 
gegen wird der Sinus A des Polardreiecks durch die Gleichungen bestimmt: 
2) 4=<ssin x-sin h, = sin ß -sin h, = sin 7 - sin h; 
= sin ß -sin y-sin a = sin y sin x -sin b = sin « - sin ß - sin €. 
Für den Quotienten MX = D: A, der als der Modul des sphärischen 
Dreiecks bezeichnet wird, gelten die Gleichungen: 
D sin@a sind sinc sina-sinb-sinc „4 
M ES A ES EHER I 
4 sin&« sinß siny sin « sin ß sin y 
„r