Der Sinus eines sphärischen Dreiecks 4921 
umändern, indem wir drei in einem Eckpunkte zusammenstoßende Kanten 
mit a, b, c und ihre Gegenkanten der Reihe nach mit a', V',c' bezeichnen. 
[ndem wir dann noch 
X (be)= 2 X (ca)= u X (ab)= v 
setzen, folgt aus den Gleichungen (7) und (4): 
144 V? = 4006? D* = 
4a?d?e? (1 — cos? ı — cos? u — cos? v + 2 cos 1 cos u cos v). 
Nun ist: 
2dbe cos 1 = b? + e* — a'?, 20a cos u = € + a? — bh? 
2ab-cos v = a? + b? — d'? 
also: 
144 7? = 400%? — ab? + ed — ad?) — DA + a —V?) 
— Aa +b?— 0?) + (D?+ 0 — a?) (+ a? — V?) (a? + b*— 0?) 
Diese Gleichung kann in den beiden Formen geschrieben werden: 
144 V? = aa? (b? + ea +VRr a'?) 
+ D20'? (e ++ ad d'2) 
+ ed? (a? ++ c’?) 
—_ aA — Via — Cab? — a2 2e'? 
oder: 
144 7? = (a? +6? + ce? + a? +0? + 0?) (aba? + DO? GC?) 
2a?a'? (a? + a'?) — 200"? (b* + 0?) 
23 + 0?)— ae ae aba: a? 
Es versteht sich von selbst, daß in diesen Formeln die sechs Kanten 
nicht beliebig miteinander vertauscht werden können, daß vielmehr nur 
solche Vertauschungen gestattet sind, bei denen die gegenseitige Lage 
der Kanten ungeändert bleibt. Die Zahl der zulässigen Permutationen 
beträgt hiernach 24. Über sie handelt eine Arbeit von Schwering in 
Schottens Zeitschrift Bd. 43 (1912) S. 409 £f. 
4, Bedeutung des Sinus eines sphärischen Dreiecks, Wir 
wollen zunächst annehmen, die Seiten und die Höhen eines sphärischen 
Dreiecks ABC seien sämtlich kleiner als ein Quadrant. In der durch den 
Hauptkreis BC begrenzten Halbkugel, die den Punkt 4 enhält, existiert 
ain einziger Pol P von BC. Man ziehe die beiden Quadranten PB und 
PC und beschreibe den Kreis (P) A, der PB in D treffen möge. Die in 
D an diesen Kreis gelegte Tangente tritt wegen der gemachten Annahme 
nn einem Punkte E des Quadranten PC aus dem Innern des Dreiecks 
PBC in sein Äußeres über. Demnach ist das Viereck BCHD konvex. 
Es hat in C, B, D rechte Winkel; seine Seite BC ist gleich a, die Seite 
BD gleich h,. Setzt man noch < CED= 90° — 6, so stellt # den sphäri-