49292 $ 23. Der Sinus und der Flächeninhalt eines erläiriechen Dreiecks 
schen Exzeß dieses Vierecks dar. Im Dreieck PDE ist X DPE = a, 
PD =90°— h., < PED = 90° — 0. Demnach ist: ' 
cos (90° — 0) = cos (90° — h.)sin a ; 
oder: 
8) 
sin 0 = sin a-sin h, = D. 
Um hiernach den Sinus eines sphärischen Dreiecks darzustellen, kon- 
struiert man aus einer Seite und der zugehörigen Höhe ein sphärisches 
Viereck, in welchem diese beiden Seiten miteinander und je mit der 
zweiten anstoßenden Seite einen rechten Winkel bilden. Ist @ der sphä- 
rische Exzeß dieses Vierecks, so ist der Sinus von 0 der Sinus des sphä- 
rischen Dreiecks. 
Von der beschränkenden Annahme, die wir gemacht haben, können wir uns 
leicht unabhängig machen. Wenn eine der Größen a und h, gleich 90° ist, so führt 
unsere Konstruktion auf ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln; der dritte Winke 
dieses Dreiecks stellt die Größe d dar. Dagegen liefert die Konstruktion ein über- 
schlagenes Viereck, wenn auch nur eine der Größen a und h, größer als 90° ist. 
Der Inhalt dieses Vierecks kommt auf die Differenz des Inhalts zweier Dreiecke hin- 
aus; seine Beziehung zum Sinus des Dreiecks wird hierdurch nicht berührt. 
Der Sinus eines sphärischen Dreiecks steht auch in enger Beziehung zum Inhalt 
des ebenen Dreiecks, das dieselben Eckpunkte hat. Wir wollen diese Beziehung 
hier angeben, obwohl wir einige Formeln benutzen müssen, die erst später bewiesen 
werden sollen. Indem wir mit a, b, c die Seiten, mit r den Umkreisradius für das 
sphärische Dreieck A BC bezeichnen und den Radius der Kugel gleich der Längen- 
ainheit voraussetzen, werden 2 sin zZ 2 sin ze 2 sin z die Seiten des ebenen Drei- 
ecks ABC und sin r der Radius seines Umkreises. Demnach gilt nach 8 2, 9 (15) 
/S. 29) für den Inhalt Z des ebenen Dreiecks die Formel: 
2 sin 2 sin 2 sin £ 
I= ? 2 2 
Sn sinr 
Da aber nach 8 24, 1 (1) die Gleichung besteht: 
SS SO 
4 sin — sin —- sin —- 
Da AR 2, 
ter 
so ergibt sich: 
3 
D=21[.cosr. 
Wir verbinden jetzt mit der Gleichung: 
sina-sin%-sinc 
D= SM 
lie aus (3) hervorgeht, die Formel (15) Nr. 5: 
..E a b 6 
D = 4 sin - cos 5 COS 5 COS = 
ınd finden: 
PD X 008% cos 2 cos & 
Asin € 2igr ? 2 2 
2 
der mit Rücksicht auf (9): 
101 
Z:sinr 
M = ZT, 
8 
sin — 
>