Bestimmung eines Dreiecks durch zwei Seiten und den Inhalt 431 
kreises; sie brauchen aber nicht kongruent zu sein, wenn diese Summe 
kleiner ist als 180°.“ 
„Wenn der Inhalt eines Dreiecks einen Kugelquadranten übersteigt 
oder ihm gleichkommt, so ist die Summe aus je zwei Seiten größer als 
180% In diesem Falle hat das Dreieck lauter stumpfe Winkel.“ 
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8. Sphärische Dreiecke, deren Winkelsumme vier Rechte 
beträgt. Die sphärischen Dreiecke, deren sphärischer Exzeß gleich 
180° ist, deren Inhalt somit dem vierten Teile der Kugelfläche gleich 
wird, zeichnen sich durch viele merkwürdige Eigenschaften aus. Um 
sie herzuleiten, behalten wir die in Nr. 5 eingeführte Bezeichnung bei. 
Nach (20) ist für &= 180° stets B,C, =C, A, = A, B,=90°. Die Mitten 
der Seiten eines solchen Dreiecks sind daher die Ecken eines dreirecht- 
winkligen Dreiecks. Ferner ist in diesem Falle nach (12): 27,= q, 
27, = b, 2r,=cC. Die Mitte einer jeden Dreiecksseite ist vom Gegen- 
punkte der gegenüberliegenden Ecke ebensoweit entfernt wie von den 
Endpunkten der Seiten. Die Lexellschen Kreise eines solchen Dreiecks 
werden durch die Gegenpunkte der Endpunkte der entsprechenden Seite 
in zwei gleiche Teile zerlegt. 
Wenn L der Fußpunkt der Senkrechten ist, die vom Punkte 4 auf 
den Hauptkreis 4,B, gefällt werden kann, so ist nach Nr. 5 <BAL 
= 90° + z) also für &= 180° ein gestreckter Winkel. Jede Seite eines 
sphärischen Dreiecks vom Inhalt x ist somit unter einem rechten Winkel 
zu dem Hauptkreise geneigt, der die Mitten der anderen Seiten verbindet. 
Unter der Annahme &= 180° gelten hiernach auch die Beziehungen: 
5,C, = 90°, CA, =90°%°,  A,B, = 90°, 
2r, = da, . 272 =%, za =C, 
BC, BC, CA, _LCA, 4,5, 145. 
Umgekehrt zieht aber auch jede Eigenschaft, die durch eine der 
letzten Gleichungen ausgedrückt wird, die Gleichung & = 180° und so- 
mit auch die übrigen Eigenschaften nach sich. Hiernach stehen diese 
zehn Eigenschaften eines sphärischen Dreiecks in der Beziehung zuein- 
ander, daß jedes Dreieck, dem eine von ihnen zukommt, sie alle besitzt. 
Wir möchten die folgenden Lehrsätze eigens hervorheben. 
„Sobald die Mitten von irgend zwei Seiten eines sphärischen Drei- 
ecks um 90° voneinander entfernt sind, bilden die drei Seitenmitten 
die Ecken eines dreirechtwinkligen Dreiecks.“ 
„Der Durchmesser eines Lexellschen Kreises, der zu einer festen 
Dreiecksseite gehört, kann nicht kleiner sein als diese Seite. Wenn er 
dieser Seite gleich wird, erhalten auch die beiden anderen Lexellschen 
Kreise ihren kleinsten Durchmesser.“ 
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Zn