438 824. Die Radien der In- und der Umkreise eines sphärischen Dreiecks usw.
wo auch a’, b’, d’ ganze Zahlen sind, die untereinander und mit c durch die Glei-
ehungen verbunden sind:
b'd'=27, a’d'+b'c=126,
d'—a'c—36.0a' b'=—69, bW'=a'? 6,
Nach der ersten Gleichung sind db’ und d’ ungerade, nach der letzten auch a’
ınd nach der zweiten auch c. Da dies aber der vorletzten Gleichung widerstreitet,
ist die angenommene Zerlegung unmöglich. Jeder Faktor niederen Grades, der in
der linken Seite von (a) enthalten ist, muß somit irrationale Koeffizienten besitzen.
fliernach ist die Gleichung (a) und somit auch im allgemeinen die Gleichung (12)
‚.rreduzibel.
Aus der Irreduzibilität der Gleichung (12) können wir noch eine
weitere Folgerung ziehen. Wir haben vorhin bewiesen, daß zwischen
den vier Größen %), X%,, %, X; die Beziehung (12) besteht. Unsere Her-
leitung hat uns aber noch nicht gezeigt, daß dies die einfachste Beziehung
ist, durch die diese vier Größen miteinander verbunden werden. Da die
Gleichung (12) aber irreduzibel ist, besteht zwischen den vier Radien
Fo, Tı> Ta) "3 keine einfachere Beziehung” -
b) Obwohl für das geometrische Problem nur die positiven Wurzeln
der Gleichung (12) in Betracht kommen, müssen wir doch die Anzahl
und die Grenzen der negativen Wurzeln kennen lernen. Zu dem Zwecke
fassen. wir die Größe x, als veränderlich auf und bezeichnen dement-
sprechend die linke Seite von (12) kurz mit f(xg). Dann ist offenbar:
f(— 1) = (8 — 3)? Xi (2, (421 — (% + %3)?) +4 (0 — %%s)}
F(— 2) => (A — X) ap {X (425 — (@, + %)?) + 4 (05 — X, %o)}-
Somit ist jedesmal, wenn % = dx; ist, — x, eine Doppelwurzel der
Gleichung (12). Setzen wir aber x, > %, > %, voraus, so ist:
F(0>0, fl—%)<0, fF(—-z)>0, Fl—)0o<0.
Unter dieser Voraussetzung hat also die Gleichung stets drei negative
Wurzeln, von denen die eine größer als — x, die kleinste kleiner als
—%, ist, während die mittlere zwischen — x, und — x, liegt. Die
Gleichung kann somit höchstens ein Paar komplexer Wurzeln. haben;
sobald also ihre Diskriminante positiv ist, hat sie lauter reelle Wurzeln.
Weil aber f (x) für % = + co und für % = 0 einen positiven Wert hat,
30 ist die Anzahl der positiven Wurzeln gerade. Nun ist die Summe
aller Wurzeln gleich null. Wenn also alle Wurzeln reell sind, so müssen
zu den drei negativen Wurzeln zwei positive hinzutreten.
Aus dem Umstande, daß die Gleichung (12) entweder drei oder
fünf reelle Wurzeln hat, geht hervor, daß sie selbst dann nicht durch
Wurzelgrößen gelöst werden kann, wenn man unter dem Wurzelzeichen
komplexe Größen zuläßt.
Beim Beweise dieses Satzes müssen wir beachten, daß je nach der
Wahl der Größen x,, %,, % die Diskriminante bald einen positiven und