Bestimmung des Dreiecks durch 7,, 7;, 73 441
Indem wir den Nenner durch den Wert ersetzen, der aus der Glei-
chung (11) hervorgeht, erhalten wir, entsprechend der Gleichung (10),
lie Formel:
(b) sind -sine-sing = ———.
VYoYıY2 Us
Jetzt können wir aber auch die Formel herleiten:
sind -sinc-cos au = Yo Ya,
YoYı YaYs
Die Gleichung (6) zeigt nämlich, daß die beiden Seiten von (c) ihrem
absoluten Betrage nach gleich sind. Nach der ersten Gleichung (14)
stimmen sie aber auch im Vorzeichen überein.
Wegen der Gleichungen (13) ist:
cos & — cos b cos €
(X zo X) (X X + X Ka) (X, Ko FXo%g) — (Lo Kg + X X) (X KL a) (Kr X X %s)
(di, Xz + 29%) (Cy X, + Xo%z) (X, X + Xo Kg)
Der Zähler kann aber auch in die Form gebracht werden:
2% X, X 3 (X + %3 — 9 — x)
= 2% Vo % [4 + w3)* — (9 — 1)? — 2 (w9% + X X)]
= 2%98, Do Rz [(dg + X — Bo H Zr) (Wa + X + X — 1) — 2 (9%, + Xp]
= 2% Ks [49991 — 21 YoIyı + Yıyı)] = 1 Xo%, Ta X (YoYı — YaYs)-
Der Nenner ist aber gleich 4%4X, X, Xz Y_Yı Ya Ys-
Daraus ergibt sich:
“d) cos a — cos b cos 6 = “YYıys,
YıYı Ya Ys
Die Verbindung der Gleichungen (c) und (d) liefert aber eine Formel
des ersten Kosinussatzes. Die beiden entsprechenden Formeln ergeben
sich durch zyklische Vertauschung. Indem wir aber die Größen x, %,,
X, X Mit Yo, Yı, Yo, Ys vertauschen, haben wir nach den Gleichungen
‘13), (14) die Größen a, b, c durch 180° — w, 180° — ß, 180°— y zu
ersetzen. Demgemäß sind unsere Größen auch durch die drei Glei-
chungen des zweiten Kosinussatzes miteinander verbunden. Der Sinus-
satz im Verein mit den beiden Kosinussätzen führt aber durch eine kleine
Rechnung auf den Sinus-Kosinussatz. Somit sind die Größen a,b, c,
x, ß, y die Seiten und die Winkel eines sphärischen Dreiecks. Daß in
diesem Dreieck die Größen x;, X, , X, X die angegebene Bedeutung haben,
zeht aus den Entwicklungen von Nr. 1 hervor.
Demnach gilt der folgende Lehrsatz:
Je vier positiwe Größen xX,, X,, X, X, die der Gleichung (12) genügen,
sind die Tangenten der Radien der vier Kreise, die einem sphärischen Drei-
ecke und seinen Nebendreiecken umgeschrieben werden können. Die Kotan-
