Die Umkreisradien für gleichsch. u. gleichs. Dreiecke 443 
d) Wenn %, = %, aber x, Z x; ist, so ist x eine positive Wurzel 
der Gleichung: 
-N+ 
N- 
N 
DI 
il 
3 
x 
+ 
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417) 
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X 
en 
{p- 
HU 
z,— HA (a An? +4) +4? =0, 
Soll diese Gleichung eine oder zwei positive Wurzeln haben, so 
muß sein: 
a (a? — An) a + Lö ta — 100, at — Bat 
+ 10%, x? — 27 %*— 16x? > 0. 
Nachdem man x, fest gewählt hat, ist die linke Seite eine bloße 
Funktion von z,, die nur für einen einzigen positiven Wert m? von x,? 
verschwindet, für 0 <xzxz,<m einen negativen und für x, > m einen 
positiven Wert annimmt, wo m selbst wieder eine Funktion von x, ist. 
Gibt man x, einen Wert, der größer ist als m, so genügen der Aufgabe 
zwei verschiedene Dreiecke. Dagegen erhält man für %; = m ein ein- 
ziges und für % <m kein Dreieck. 
Ist x, = % = % SO kommt die Gleichung (12) für x = x, auf die 
folgende hinaus: ; 
x?— 3x, +4=0. 
Demnach muß sein: 
In, < 16. 
Der kleinste Wert, den die Tangente des Umkreisradius für das 
Nebendreieck eines gleichseitigen sphärischen Dreiecks erhalten kann, 
ist gleich 5- Zur Konstruktion” dieses Radius kann man das ebene 
Dreieck benutzen, dessen Seiten im Verhältnis 3: 4 : 5 stehen. 
Einige weitere Sätze über das gleichseitige sphärische Dreieck, die 
aus unseren früheren Untersuchungen unmittelbar hervorgehen, ver- 
dienen hier wenigstens erwähnt zu werden. 
„Der Radius des um ein Nebendreieck eines gleichseitigen sphä- 
rischen Dreiecks beschriebenen Kreises nimmt seinen kleinsten Wert an, 
wenn der Inkreisradius des Dreiecks selbst gleich T ist. Zwei gleich- 
zeitige Dreiecke, für die die Inkreisradien Komplemente voneinander 
sind, stimmen in den Radien überein, die um die Nebendreiecke be- 
schrieben werden können. Bei den gleichseitigen Dreiecken auf der 
Kugel nimmt der Radius des Ankreises seinen größten Wert an, wenn 
der Umkreisradius gleich der Hälfte der Quadranten ist. Für zwei gleich- 
seitige sphärische Dreiecke, deren Umkreisradien sich zu 9;)° ergänzen, 
3zind die Radien der Kreise gleich, die je in das Nebendreieck beschrieben 
werden können.“ 
e) In der Gleichung (11) dürfen die Größen %,, X, X%, X Und Yo, 
Yı> Ya, Ys miteinander vertauscht werden. Diese Vertauschung kommt 
darauf hinaus, das Dreieck durch ein Polardreieck zu ersetzen. Dabei 
x 
5 
Ka