444 824. Die Radien der In-und der Umkreise eines sphärischen Dreiecks usw. 
ändert sich aber die rechte Seite von (7) nicht. Demnach gilt für jede 
Permutation x, 2, u, v der Marken 0, 1, 2, 3 die Beziehung: 
Xu X + Xu X = YıYı + YuYyıv. 
Diese geht auch aus der Gleichung (5) durch eine leichte Rechnung 
hervor. 
Hiernach stellt die Gleichung (12) auch die einfachste Beziehung 
dar, die zwischen den Kotangenten der Radien der Berührungskreise 
eines sphärischen Dreiecks besteht. Jedem Satze, den wir vorhin für die 
Radien der Umkreise gefunden haben, ist ein Satz zugeordnet, der für 
lie Radien der Berührungskreise gilt. Wir erwähnen die beiden Sätze: 
„Je vier positive Größen, die durch die Gleichung (12) mit- 
einander verbunden sind, stellen die Kotangenten der Radien der Be- 
-ührungskreise eines sphärischen Dreiecks dar.“ 
„Das Problem, ein sphärisches Dreieck durch die Radien seiner 
Ankreise zu bestimmen, hat im allgemeinen zwei Lösungen.“ 
3. Bestimmung eines Dreiecks aus 7, 0, rı oder aus Fr, 0, 01. 
Wir wollen annehmen, aus einem der beiden Quadrupel (%;, X%,, X, X3) 
and (%,, Yı, Yo, Yz) Seien zwei und aus dem anderen sei eine Größe gegeben, 
and suchen mit ihrer Hilfe das Dreieck zu bestimmen. Die verschiedenen 
Aufgaben, die hieraus hervorgehen, kommen auf zwei hinaus. Die eine 
von ihnen wollen wir in dieser, die andere in der nächsten Nummer 
behandeln. 
Durch die Größen v7, o, r, ist nach (5) auch o, bestimmt. Statt von den 
Jrei ersten Größen auszugehen, verbinden wir drei bekannte Größen p,g, % 
mit einer Unbekannten v, indem wir die Größen (4), den Gleichungen (5) 
entsprechend, in folgender Weise darstellen: 
=D, BSP, =, = a0 
an | 
Yo=d U, Yı=d +, a=D—0, Yı=y FW 
: Hier müssen % und g positiv sein, während ” und v auch negative 
Werte erhalten können. Zudem muß sein: 
p> nl, gqg> nl, > 0, q> 0. 
Unter Einsetzung der Werte (17) nimmt die Gleichung (11) die Gestalt an: 
(18) (p* — nn?) (g* — w*) (p* — v*) (g* — v”) 
—(p!+ gg n— v?) (p’g® — Wu?) =0 
Da diese Gleichung quadratisch in vw? ist, lassen sich die beiden 
Aufgaben, ein sphärisches Dreieck aus den Stücken r, 0, r, oder”, 9, 0, 
zu konstruieren, auf elementarem Wege lösen. 
Indem wir die linke Seite von (18) mit f (v*) bezeichnen, finden wir: 
f(p* + g* — m) = (p* — mt (0 — 
FO = pn =