Sinus und Tangens kleiner Winkel 31
Wenn der Winkel « (in natürlichem Maße gemessen) zwischen =
Did . .
and TI liegt, so ist auch:
.:: . X X X
Sin „7 < Sin & < sin 7 ig Tq < tg a<tg
Es wird aber sin Tr und tg bei großem Werte von % nahezu
yzleich T Daher stimmen der Sinus und die Tangens eines kleinen
Winkels nahezu mit der Maßzahl des Winkels in natürlichem Maße
überein, und zwar beträgt der Unterschied, wenn « <* ist, weniger
8
als Se Für alle Winkel kleiner als 4° reicht der Unterschied zwischen
dem Sinus und der Tangente nicht an 0,0002, für Winkel, die kleiner
sind als 2°, nicht an 0,00002, für Winkel die kleiner sind als 1°, nicht
an 0,0000038, und für Winkel, die kleiner sind als 30’, nicht an 0,0000004
heran.
Zu demselben Ergebnisse gelangt man auch durch eine Betrachtung,
die von der Definition der Länge eines Kreisbogens (Bd. I S. 344) aus-
geht. Die auf den Radius als Einheit bezogene Maßzahl der Länge des
Kreisbogens, der zum Zentriwinkel « gehört, wird mit arc & bezeichnet.
Da sie identisch ist mit der auf die natürliche Einheit bezogene Maß-
zahl des Winkels «, so folgen aus der Definition der Länge eines Kreis-
bogens leicht die Ungleichungen:
sin x < arc a < tg a.
Dividiert man einmal durch sin « und dann durch tg «, so ergibt sich
hieraus:
arca« 1
1< Sina < COS «
arca
cos u << Ton < 1.
an
we
KK
X
a“
er.
„a
ZUR
SS
ME
8
BR
En A
LA
3
Wr
4%
[r
a
Da nun cos « dem Werte 1 beliebig genähert werden kann, indem
man « hinreichend klein werden läßt, so folgt, daß dadurch auch sin «
ınd tg « beide zugleich beliebig nahe an arc x gebracht werden können.
Das kann durch eine elementare Rechnung bestätigt werden. Nach
dem Additionstheorem lassen sich im Anschluß an die bekannten Kon-
struktionen regelmäßiger Vielecke die Werte von cos 3°, sin 3°, tg 3° be-
rechnen (Nr. 5). Mit den Formeln:
. &
S1IN -—
X . ©“ & 2
2 cos? Z=1+cos w«, 2sin‘ >= 1 — cos &, 95
zann man dann die Funktionen des halben Winkels finden und das Ver-
’ahren fortsetzen. So ergeben sich die hier zusammengestellten Zahlen:
