MM 
N 
A 
iX 
Q 
8, 
x 
U 
al 
3 
“ 
N 
N 
'K 
ul 
41] 
Dreiecke mit festen Eckpunkten 449 
zweiten und in C ihren dritten Eckpunkt haben. Eines von ihnen wird 
Jadurch bestimmt, daß man die Richtung der Hauptkreise BC, CA, 
4B je mit der Richtung der Strecken BC, CA, AB und den Drehungs- 
sinn. der Winkel mit dem Sinn des Dreiecks 4 BC übereinstimmen läßt. 
Für dieses Dreieck sind alle Seiten und Winkel kleiner als x. Das so 
erhaltene Möbiussche Dreieck ABC stimmt in seinen Seiten mit dem 
Eulerschen Dreieck ABC überein. Man sagt daher, bei dieser Festsetzung 
werde das Möbiussche Dreieck mit dem Eulerschen identisch. Dabei 
muß man aber beachten, daß die Winkel auf ganz verschiedene Weise 
oestimmt werden. So enthält der von 4 ausgehende und in der Richtung 
der Strecke CA verlaufende sphärische Halbstrahl den Gegenpunkt €” 
von C. Somit wird in diesem Falle der Möbiussche Winkel A von den 
Halbstrahlen AC’ und AB gebildet. Da zudem die Drehung im Sinne 
der Strecke BC oder, was dasselbe ist, im Sinne der Strecke CB er- 
folgt, so ist bei der getroffenen Festsetzung der Möbiussche Dreiecks- 
winkel CAB Nebenwinkel zu dem Eulerschen Dreieckswinkel BAC. 
Bestimmt man die Seiten und die Winkel eines Eulerschen Dreiecks 
nach der Methode von Möbius, indem man die Richtungen der Seiten 
and den Drehungssinn beibehält, so bleiben die Seiten ungeändert, 
während die Winkel durch ihre Supplemente ersetzt werden. 
Die Substitutionen, die von einem gegebenen sphärischen Dreieck 
ABC zu allen Möbiusschen Dreiecken mit denselben Eckpunkten führen, 
bilden eine Gruppe, die aus vier speziellen Substitutionen hervorgeht. 
Die Substitution Sy soll die Richtungen der Seiten beibehalten, aber 
den Drehungssinn in den entgegengesetzten verwandeln. Dagegen ändern 
lie Operationen S,, Sy, S, je die Richtung einer einzigen Seite, und 
zwar S, die von BC, S, die von CA und S, die von AB. Dabei ist es 
gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Substitutionen miteinander ver- 
ounden werden; die Gruppe enthält nur vertauschbare Substitutionen. 
Auch läßt die zweimalige Ausführung einer jeden Substitution das Drei- 
eck ungeändert. Daher enthält die Gruppe mit Einschluß der sogenannten 
Einheitssubstitution (0), die keine Veränderung hervorruft, 16 Sub- 
stitutionen, die sich in folgender Weise anordnen lassen: 
(a) © Sy Sr Bir Sißey 848 Sir SiS 
So 5981, Saba SaSs, Sir Bey SaB3Sıy So8Sar SoS,S2 Sr. 
Die Substitution S, läßt die Seiten ungeändert, führt aber jeden 
Winkel in seine Ergänzung zu 2x über, Da die Substitution S, die 
Richtung des Hauptkreises BC in die entgegengesetzte verwandelt, aber 
die Seiten (A und AB, sowie den Drehungssinn beibehält, läßt sie die 
Größen b, c, « ungeändert. Für den Dreieckswinkel B wird der zweite 
Schenkel durch den entgegengesetzten Halbstrahl ersetzt; also muß man 
für ß <m eine Drehung von der Größe x hinzufügen und für ß > x 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II 
993