150 8 25. Erweiterung des Begriffes eines sphärischen Dreiecks 
lie Drehung x abziehen. Somit geht ß in ß + mx über, wo das obere 
Vorzeichen für ß < m, das untere für ß > x genommen werden muß. 
Ebenso muß man y durch 7 + x ersetzen, je nachdem y < mx oder y > x 
ist. Endlich tritt 2x — a an die Stelle von a. Entsprechende Änderungen 
“ihren die Substitutionen S, und S; herbei, 
Hiernach können wir die Seiten und Winkel aller Möbiusschen 
Dreiecke bestimmen, die in 4 ihren ersten, in B ihren zweiten und in 
C ihren dritten Eckpunkt haben, sobald diese sechs Größen für eines 
anter ihnen bekannt sind. Um die Übersicht zu erleichtern, wollen wir 
von. dem Dreiecke ausgehen, dessen Seiten und Winkel sämtlich kleiner 
sind als x. Wir verstehen also unter a, b, c, «, ß, v die Seiten und 
Winkel des entsprechenden KEulerschen Dreiecks, indem wir für die 
Winkel die Möbiussche Bezeichnung benutzen. Dadurch, daß wir auf 
ein solches Dreieck der Reihe nach die Substitutionen (4) anwenden, 
arhalten wir folgende Tabelle: 
Rn 
a 
Inm— a 
& 
2m — a 
2x — a 
2m -— a 
a 
25 — 6 
% 
a 
a 
2x — a 
2m — a 
2nm-—n 
# zum 
T—C 
m —C 
Im —C «A: 
zn — 0 C u + %. 
Ixzx-—h Ir-—C 
- 
25 — 6 
2m — 0 
x 
Im —h 
. aa 
C 
Dr —— € 
X 
Im — 
m 
dm 
44 
+ 
9x — 3 
Y 
Yy+z 
YA 
V 
y+z 
Yy+Hz 
V 
IT — 
} 
r 
V 
7 
Y 
Zu —V 
2m —W. 
Die Tabelle gibt auch die Änderungen an, die ein beliebiges Möbius- 
sches Dreieck durch die Substitutionen (A) erleidet. Nur muß man dafür 
sorgen, daß die neuen Größen sämtlich zwischen den Grenzen 0 und 2x 
anthalten sind, und demnach in einzelnen Fällen 2x addieren oder subtra- 
hieren. Versteht man unter 2 einen beliebigen Dreieckswinkel, so muß 
man in den acht ersten Zeilen der Tabelle 4 + x durch A — x ersetzen, 
wenn i1>=z ist. Unter derselben Bedingung muß man in den acht 
letzten Zeilen statt x — 2 die Größe 3x — 1 zum neuen Winkel wählen.