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2. Der Typus eines Möbiusschen Dreiecks. In einem Möbius- 
schen Dreieck liegt jedes Umfangsstück entweder zwischen 0 und‘x oder 
zwischen = und 2x. Solange wir an der Beschränkung festhalten, daß 
sich durch die drei Kekpunkte kein Hauptkreis legen läßt, bleiben die 
Grenzwerte 0, x, 2x ausgeschlossen. Jetzt weisen wir dem ersten Inter- 
vall oder dem Intervall (0) die Werte zwischen 0 und z und dem zweiten 
{ntervall oder dem Intervall (1) die Werte zwischen x und 2x zu. Da 
die Tabelle (5) nur 16 Möglichkeiten aufweist, besteht eine Abhängigkeit 
zwischen den Intervallen, in denen die sechs Umfangsstücke enthalten 
sind, Um diese scharf hervortreten zu lassen, sagen wir, eine Seite 
aines Möbiusschen Dreiecks sei vor den beiden anderen Seiten bevorzugt, 
wenn sie in einem anderen Intervall liegt als die beiden anderen Seiten. 
Ebenso soll ein Winkel als bevorzugt angesehen werden, wenn das Inter- 
vall, dem er angehört, die beiden anderen Winkel nicht enthält. Nach 
der Tabelle (B) sind aber eine Seite und ihr Gegenwinkel jedesmal gleich- 
zeitig bevorzugt. Ist kein Umfangsstück bevorzugt, so können wir die 
Intervalle für die Seiten und für die Winkel frei wählen. Ebenso kann 
sowohl die bevorzugte Seite als auch der bevorzugte Winkel einem be- 
liebigen Intervall angehören. Wir charakterisieren daher jedes Möbius- 
sche Dreieck durch das Zeichen 79 wo ı eine der Marken 0, 1, 2, 3 
and x, 2 je eine der Marken 0, 1 darstellen. Für ı=0 soll kein Umfangs- 
stück bevorzugt sein; alsdann liegen die Seiten zwischen %x-x und 
(* + tv) -x, die Winkel zwischen 2-x und (1 + t)-x. Die Wahl ı = 1 
soll andeuten, daß die Umfangsstücke a und « bevorzugt sind; zugleich 
soll x: <a<(u% +), im <u<(1+ 4) sein. In entsprechen- 
der Weise sind b und ß für ı = 2 bevorzugt; die Seite b gehört dem 
Intervall (x), der Winkel ß dem Intervall (1) an. Für ı==3 sind c und y 
bevorzugt; dann gibt % das Intervall für c, A das Intervall für y an. 
Hiernach nennen wir das Zeichen m den Typus des Möbiusschen 
Dreiecks. Identifizieren wir wieder das erste Dreieck der Tabelle (B) 
mit dem Eulerschen Dreieck, so entsprechen den Dreiecken dieser Tabelle 
lie Typen in der Reihenfolge: 
© m, 9, 5 9 OO, 
m I, 7 SO, 
Dreiecke mit festen Eckpunkten 
Die Substitution Sy, die Umkehr des Drehungssinnes, läßt die Seiten 
ungeändert, führt aber jeden Winkel in das andere Intervall über. Sie 
bewirkt eine Änderung der Marke 2, während die Marken ı und % un- 
yeändert bleiben. Wird die Substitution S,, durch die die Richtung auf 
dem Hauptkreise BC umgekehrt wird, auf ein Dreieck angewandt, in dem 
kein Umfangsstück bevorzugt ist, so bewirkt sie eine Bevorzugung der 
Seite @ und des Winkels x und führt eine Änderung der Marke x herbei. 
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