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Die durch drei Hauptkreise gebildeten Dreiecke 453 
ersetzt. Um die Dualität zu wahren, wollen wir jetzt von drei sphäri- 
schen Geraden ausgehen, die nicht durch dasselbe Paar von Gegenpunkten 
yehen, und die sämtlichen Möbiusschen Dreiecke aufsuchen, die von ihnen 
gebildet werden. Indem wir jedem Hauptkreise eine bestimmte Richtung 
beilegen und verlangen, daß alle in ihm enthaltenen Bögen in dieser 
Richtung beschrieben werden, sollen die drei gegebenen Hauptkreise mit 
(@), (6), (c) bezeichnet werden. Durch die Zeichen (a'), (0'), (c') soll an- 
yzedeutet werden, daß die Richtung auf jedem Hauptkreise in die entgegen- 
gesetzte verwandelt wird. Diese Hauptkreise schneiden sich in den Punkte- 
paaren A und A', B und B', C und CC’, und zwar (6) und (c) in A und 
4', (c) und (a) in B und B', (a) und (6) in C und C'. Zur Bestimmung 
des Dreiecks darf man aus den sechs Hauptkreisen (a), (6), (c), (d«’), (0'), 
€’) irgend drei auswählen, von denen keine zwei in dieselbe sphärische 
Gerade fallen, und aus den sechs Punkten A, B, C, A', B',C' irgend drei 
zu Eckpunkten wählen, durch die sich kein Hauptkreis legen läßt. 
Um den Formeln, die den Zusammenhang zwischen den Seiten und 
len Winkeln darstellen, einen einheitlichen Charakter zu geben, muß 
man die drei Winkel durch Drehungen erzeugen, die denselben Sinn 
haben. Ehe man die Seiten und die Winkel nach der in Nr. 1 angegebenen 
Methode bestimmt, muß man die Reihenfolge angeben, in der die Um- 
{angsstücke aufeinander folgen sollen. Da aber durch eine zyklische Ver- 
;auschung die Größe der Seiten und der Winkel nicht geändert wird, 
kommt es nur auf den Umlaufssinn an. In dieser Hinsicht können wir 
zwei verschiedene Festsetzungen treffen. 
Wir können erstens den Umlaufssinn der Seiten mit dem Umlaufs- 
sinn der Ecken übereinstimmen lassen. Wenn etwa (a), (b), (c) die Richtung 
ler Hauptkreise und damit die Richtung der Seiten angeben und A, B, 0 
die Eckpunkte sind, so können wir verlangen, daß mit der Folge 4, B, C 
der Ecken die Folge (a), (6), (c) der Seiten und mit der Folge A, C, B 
der Ecken die Folge (a), (c), (6) der Seiten verbunden werde. Alsdann 
dürfen wir, um alle Möglichkeiten zu erschöpfen, den Drehungssinn nicht 
n allen Dreiecken beibehalten, müssen vielmehr die Winkel sowohl in 
dem einen als auch in dem entgegengesetzten Sinne beschrieben werden 
lassen. Nachdem die sphärischen Geraden gegeben sind, in denen die 
Ecken und die Seiten eines Möbiusschen Dreiecks liegen sollen, kommt 
238 bei dieser Festsetzung für die eindeutige Bestimmung eines Dreiecks 
1. auf die Richtung der Hauptkreise, 2. auf die Wahl der Eckpunkte, 
3. auf den Drehungssinn und 4. auf den Umlaufssinn an. Wir werden 
also auf 2° = 256 Dreiecke geführt. 
Zweitens können wir den Umlaufssinn der Seiten vom Umlaufssinn 
der Winkel unabhängig sein lassen. Dann dürfen wir für die Kugel einen 
bestimmten Drehungssinn festhalten und verlangen, daß die Winkel aller 
Vöbiusschen Dreiecke in diesem Sinne beschrieben werden. Sind etwa