454 8 25. Erweiterung des Begriffes eines sphärischen Dreiecks 
die Hauptkreise (a), (6), (c) und die Eckpunkte A, B, C gewählt, so können 
wir noch die Dreiecke bilden: 1. ABC: (a) (b)(c), 2. ABC: (a) (c) (b), 
3. ACB: (a) (b)(c), 4. ACB: (a) (c) (b). 
Die Vertauschung von (a) und (@') haben wir in Nr. 1 mit S; be- 
zeichnet. In entsprechender Weise soll die Vertauschung von 4 und A' 
mit S;, die Vertauschung von B und B' mit S} und die von C und C' 
mit S; bezeichnet werden. Wird der Punkt A durch A’ ersetzt, ohne 
daß weitere Veränderungen eintreten, so ändern sich weder die Winkel 
8, y noch die Seite a. Dagegen tritt A'B an die Stelle von AB. Nun 
ist 4 B+ BA entweder gleich x oder gleich 3x. Dazudem A'’B=2x—BA' 
ist, folgt: A'B = AB + x. Ebenso ist CA'=2x — A'C und A4'C+CA 
entweder gleich x oder gleich 3x; also CA' = CA + xz. Um den Winkel 
A des Dreiecks ABC zu erhalten, muß man durch eine Drehung, die 
in dem vorgeschriebenen Sinne um den Punkt A erfolgt, die Richtung 
%) in die Richtung (c) überführen. Wird aber die Richtung (b) in die 
Richtung (c) übergeführt durch eine Drehung, die um den Punkt A' in 
yleichem Sinne erfolgt, so erhält man einen neuen Winkel, der den 
früheren zu 2 x ergänzt. Die Substitution S; verwandelt also die Größen 
a, b, c, «, B, yina, b+nx,c+x, 2x -— a, ß, y. Die ist das duale Ab- 
bild der Substitution S,. 
Die Substitution Sy soll nach der in Nr. 1 gegebenen Definition die 
Eckpunkte und die Richtungen der Hauptkreise, sowie die Folge der 
Ecken und der Seiten beibehalten und nur den Drehungssinn in den 
antgegengesetzten verwandeln. Sie läßt, wie wir gesehen haben, die 
Seiten ungeändert, führt aber jeden Winkel in seine Ergänzung zu 2x 
über. Um die reziproke Substitution S} zu erklären, gehen wir vom 
Dreieck ABC aus, dessen Seiten die Richtungen (a), (6), (c) haben, und 
verlangen, daß, unserer ersten Festsetzung entsprechend, die Ecken in 
der Folge 4, C, B, die Seiten ebenfalls in der Folge a, c, b genommen 
werden und zugleich der Drehungssinn in den entgegengesetzten ver- 
wandelt wird. Weil die Bewegung auf den einzelnen Hauptkreisen beim 
zweiten Dreieck in demselben Sinne erfolgt wie beim ersten, so ist 
ÜB+BC=2xz, AC+CA=2x, BA + AB==2x. Dagegen führt 
in dem neuen Dreieck der Winkel A die Richtung (c) nach (6) über. Da 
aber die Drehung in dem entgegengesetzten Sinne erfolgt, bleibt die Größe 
der Winkel ungeändert. Demnach wandelt die Substitution Si die Größen 
a,b, c, «, 6, y in 2x — a, 2x -— bb, 2x —C, «, ß, y um. 
Wir können aber auch, unserer zweiten Festsetzung entsprechend, 
den Drehungssinn bei allen Dreiecken beibehalten. Dann soll Sy nur den 
Umlaufssinn der Seiten umändern. Dagegen sollen außer dem Richtungs- 
sinn jeder Seite die Kekpunkte und ihre Folge beibehalten werden. Er- 
setzt man das Dreieck ABC: (a) (b) (e) durch ABC : (a) (ec) (b), so be- 
halten die Seiten ihre Werte bei. während jeder Winkel in seine Er-