Die durch drei Hauptkreise gebildeten Dreiecke 455 
zänzung zu 2x übergeht. Die reziproke Substitution S} ändert nur den 
Umlaufssinn der Eckpunkte um; sie verwandelt das Dreieck A BC: (a) (b)(c) 
n ACB: (a) (b)(c). Sie 1äßt offenbar die Winkel ungeändert, verwandelt 
ıber jede Seite in ihre Ergänzung zu 2x. Bei dieser Festsetzung tritt 
Jie Dualität am deutlichsten hervor. 
Von den 256 Möbiusschen Dreiecken, die durch dieselben sphärischen 
Geraden gebildet werden, stimmen je vier in allen Umfangsstücken 
überein. Diese lassen sich leicht angeben, wenn wir die einzelnen Drei- 
acke nach der zweiten Methode bestimmen. So stimmen die Dreiecke 
ABO : (a) () (0); ACB : (a') (6') ('); A’B'C' : (a) (c) (), und 
A'C'B' : (a')(e') (b') in den Seiten und Winkeln überein. 
4, Das Polardreieck eines Möbiusschen Dreiecks. In 
38 10, 2 (S. 174) haben wir einem sphärischen Dreieck ABC zwei Polar- 
dreiecke zugeordnet, von denen das eine mit dem gegebenen im Sinne 
äbereinstimmt, das andere entgegengesetzten Sinn hat. Wir wollen uns 
auf das erstere beschränken und es mit 4, B, C, bezeichnen. Die Richtungen 
(a,), (b,), (ci) auf den Hauptkreisen, denen die Seiten dieses Dreiecks an- 
gehören, wählen wir so, daß sie mit den sphärischen Strecken B, C,, C, 4,, 
A, B, übereinstimmen. Die entgegengesetzten Richtungen seien (a{), (bj), 
‘c!). Desgleichen sollen 4;, Bj, Ci die Gegenpunkte von A,, B5,, C, sein. 
Wenn wir in den beiden Eulerschen Dreiecken ABC und 4, B,C,, 
die in der angegebenen Weise einander zugeordnet sind, die Winkel 
nach der Eulerschen Weise bestimmen, so ergänzt jede Seite des einen 
Dreiecks den entsprechenden Winkel des anderen zu x. Die Möbiussche 
Bestimmung der Winkel bringt es demnach mit sich, daß jede Seite 
les einen Dreiecks dem entsprechenden Winkel des anderen gleich ist. 
Nun kann man durch die Substitutionen einer 256 gliedrigen Gruppe 
das Eulersche Dreieck ABC in die sämtlichen Möbiusschen Dreiecke 
überführen, die durch die drei sphärischen Geraden BC, CA, 4 B gebildet 
werden. Diese Gruppe wird aus den Substitutionen Sy, Si, Say Sa, Si, 
S!, Si, Si gebildet. Jetzt soll jedesmal, wenn auf das Dreieck 4 5C 
irgendeine Substitution dieser Gruppe angewandt wird, das Dreieck 
A, B,C, durch die reziproke Substitution verwandelt werden. Zwei 
Möbiussche Dreiecke, die auf diese Weise einander zugeordnet werden, 
sollen als Polardreiecke oder als reziproke Dreiecke bezeichnet 
werden. Da die Änderungen, die durch zwei reziproke Substitutionen 
bewirkt werden, dadurch ineinander übergehen, daß man Seiten und 
Winkel vertauscht, so gilt für jedes Dreieck, das auf dem angegebenen 
Wege aus den Dreiecken ABC und 4, B,C, gewonnen wird, der Satz, 
daß die Seiten des einen Dreiecks je den entsprechenden Winkeln des 
anderen gleich sind, 
Wenn zwei Möbiussche Dreiecke in der Beziehung zueinander 
stehen, daß jeder Eckpunkt des einen ein Pol der entsprechenden Seite