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12. Die Kreisfunktionen für beliebige Winkel. Daß man 
sich in der Trigonometrie nicht auf hohle Winkel beschränken darf, 
vielmehr zeigen muß, in welcher Weise jedem Winkel bestimmte Werte 
der Funktionen zugeordnet werden können, scheint allgemein anerkannt 
zu sein. Diese Erweiterung kann auf mancherlei Art vorgenommen 
werden. Man kann sich einmal damit begnügen, die Funktionen für 
spitze Winkel geometrisch zu definieren, das Additionstheorem auch 
nur in dieser Beschränkung zu beweisen und die Werte der Funktionen 
für alle anderen Winkel aus der Forderung herzuleiten, daß das Additions- 
theorem allgemeine Gültigkeit besitzen soll. Man kann etwa in folgender 
Weise vorgehen. Nachdem die Funktionen des rechten Winkels er- 
mittelt sind, was auf verschiedene Weise geschehen kann, führt das 
Additionstheorem auf die Formeln: sin (90° + «)=cos ax, cos (90° + «) 
= — sin x. Daraus ergeben sich die Werte von sin 180° und cos 180°. 
Dann geht man in gleicher Weise voran; man bestimmt die Werte der 
Funktionen für 180° + «, für 270°, für 270° + « usf. Man zeigt 
daß die erhaltenen Formeln, die zunächst nur für spitze Winkel « her- 
geleitet werden, allgemeine Gültigkeit besitzen und demnach befähigt 
sind, jedem positiven Winkel ganz bestimmte Werte der Funktionen 
zuzuordnen. Auch die Funktionen negativer Winkel gehen aus dem 
Additionstheorem hervor. Die bekannten Formeln zeigen nämlich, daß 
sin (v — u) = — sin (u — U), cos (v — u) = cos (u — v), also ‚sin (— «) 
= — 8in&, COS (— «) == CO8 w Ist. 
Man muß aber noch zeigen, daß bei dieser Erweiterung das Additions- 
theorem seine volle Gültigkeit beibehält. Für positive Winkel wird 
lies in folgender Weise möglich. Nachdem die Gültigkeit der Formeln 
für sin (« + ß), cos (« + ß) unter der Annahme bewiesen ist, daß die 
Winkel «x, ß einem gewissen Bereich angehören, zeigt man, daß der 
Bereich eines jeden der beiden Winkel um 90° erweitert werden darf. 
Setzt man nämlich «= 90° + «, so wird sin («' + ß) = sin (90° + «+ ß) 
= 008 (@« + ß) = cos « cos ß — sin « sin ß = sin (90° + «) cos 8 + 
cos (90° + «) sin ß = sin w' cos ß + cos w' sin ß. 
In dieser Weise kann man nicht nur bei den drei anderen Formeln 
verfahren, sondern auch den Bereich nach der negativen Seite für jeden 
der beiden Winkel um 90° erweitern. 
Wir erkennen gern an, daß dieser Weg theoretisch berechtigt ist 
und mit wenigen Erwägungen auskommt. Dagegen können wir manche 
pädagogische Bedenken nicht unterdrücken. Indem man auf die an- 
gegebene Weise verfährt, verzichtet man, abgesehen vom spitzen Winkel, 
absichtlich auf alle Anschaulichkeit; man sieht ganz davon ab, den Ver- 
lauf dieser Funktionen der Anschauung zugänglich zu machen. Es will 
ans auch scheinen, als ob es dem Schüler, der auf dieses Verfahren an- 
gewiesen ist, schwer fallen müßte, den Verlauf der vier Funktionen im 
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Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II