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34 & 2. Der erste Unterricht in der ebenen Trigonometrie 
Gedächtnis festzuhalten. Endlich möchten wir glauben, daß die. Trag- 
weite des Verfahrens, das vom gereifteren Mathematiker als ganz natürlich 
erkannt wird, vom Schüler nicht vollständig gewürdigt werden kann. 
Zum mindesten muß es ihm schwer fallen, die verschiedene Weise, in der 
das Additionstheorem jedesmal benutzt wird, streng auseinanderzuhalten. 
Auch Haentzschel will die Funktionen nur für spitze Winkel 
geometrisch definieren und ebenfalls das Additionstheorem nur für spitze 
Winkel auf geometrischem Wege beweisen. Dann leitet er die Formeln: 
sin « = 2 sin 5 cos 5 cos « = 2.008? 5 — 1=1 — 2 sin‘ ©) mit Hilfe 
des gleichschenkligen Dreiecks für spitze Winkel « her (vgl. Nr. 5 5.25) 
und verlangt, daß diese: Formeln allgemeine Gültigkeit haben sollen. 
Er zeigt, daß hierdurch jedem positiven Winkel ganz bestimmte Werte 
von Sinus und Kosinus zugeordnet werden, und zwar in einer Weise, 
bei der das Additionstheorem bestehen bleibt. In der Tat ist: 
sin(2@x + 2ß) = 2 sin(« + ß) cos (« + ß) 
= 2 (sin« cos ß + cos « sin ß) (cos « cos ß — sin « sin ß) 
— 9 sin« cos « (cos? ß — sin” P) +2 sinß cos ß (cos? « — sin” «) 
— sin2« cos 28 + cos 2« sin 2ß. 
Speziell ergeben sich auf diese Weise die Gesetze: sin (180° — «) 
= sin a, cos (180° — «) = — cos &, sin (360° + «) = sin «, cos (360° + «) 
= COS @ USW. 
Die Vorzüge dieser Methode sind von Haentzechel ausführlich dar- 
gelegt. Die Gründe, auf die er seine Ansicht stützt, verdienen ohne 
Zweifel volle Beachtung. Dennoch haben wir Bedenken, uns seiner 
Meinung anzuschließen. 
Wir halten es nämlich für angebracht, auch bei der Definition der 
Funktionen für beliebige Winkel die Anschauung zu ihrem Rechte 
kommen zu lassen. Zunächst muß der Begriff des Winkels verall- 
yemeinert werden. Zu dem Ende nimmt man die Drehung eines Halb- 
strahls um seinen Endpunkt hinzu, die einerseits unbegrenzt fortgesetzt 
werden kann und bei der andererseits ein positiver und ein negativer 
Sinn unterschieden werden muß. Um die Schwierigkeiten nicht zu 
häufen, behält man, wenigstens anfangs, das künstliche Winkelmaß bei 
und spricht demnach etwa von Winkeln von + 420° und — 280°. Den 
Scheitel 0 nimmt man zum Grenzpunkte und den ersten Schenkel zur 
positiven x-Achse 0X. Die positive y-Achse soll auf 0X senkrecht 
stehen und auf der positiven Seite der Geraden 0X liegen. Der Halb- 
strahl OX' soll entgegengesetzt zu 0X, OY' entgegengesetzt zu 0Y 
liegen. Auf den Achsen gelegene und vom Punkte 0 ausgehende Strecken 
sollen mit dem positiven oder dem negativen Vorzeichen versehen werden, 
ie nachdem sie auf einer positiven oder einer negativen Achse liegen. 
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