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Funktionen beliebiger Winkel 35 
Um 0 beschreiben wir einen Kreis, dessen Radius gleich der Längen- 
sinheit ist. Dieser treffe die positive x-Achse in M, die negative x- Achse 
in MM’, ebenso die Gerade YY' in N und N’ und den zweiten Schenkel 
les Winkels in P. Von P fällen wir auf die x-Achse die Senkrechte 
PA und auf die y-Achse die Senkrechte PB. Ist jetzt @ die Maßzahl 
ler Strecke O4, b die Maßzahl der Strecke OB, so setzen wir: 
a=cCco8@, b= sin g. 
Man sieht, daß diese Definitionen von der Wahl der Längeneinheit 
anabhängig sind. 
Die erste Aufgabe muß es sein, nachzuweisen, daß diese Definitionen 
für den bereits früher benutzten Bereich mit denen übereinstimmen, die 
sich auf das rechtwinklige Dreieck stützen. Wenn diese Aufgabe auch 
sehr leicht ist, muß sie doch behandelt werden. 
Da der Punkt A nicht aus .der Strecke MM’ heraustreten und 
höchstens mit einem Endpunkte zusammenfallen kann, und ebenso der 
Punkt B im allgemeinen zwischen den Punkten N, N’ liegt, so gelten 
die Beziehungen: 
Kr 
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Dr 
De 
N 
{ 
N 
N a 
N 
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—1<cosp<+1,. —-1<sing<+1. 
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ZB 
Nach der Wahl des ersten Schenkels und nach der Festlegung des 
Drehungssinnes sind die Funktionen Sinus und Kosinus durch die Lage 
les Punktes P eindeutig bestimmt. Somit gelten für jeden ganzzahligen 
Wert von & die Gesetze: 
cos (p + k- 360°) = cos g, sin (g + k- 360°) = sin g. 
Der Punkt, in den P durch die x-Achse gespiegelt wird, kann 
durch die Drehung — @ erhalten werden. Demnach bestehen die Glei- 
chungen: n . 
cos (— g)= cos @, sin (— @) = — sin g. 
Um den Winkel 180° + g@ zu erhalten, können wir vom Halbstrahl 
0X' ausgehen, diesen zuerst durch eine im positiven Sinne verlaufende 
halbe Umdrehung nach 0X überführen und daran die Drehung @ an- 
schließen. Hierbei wird 0X durch 0X’ und, da O0 Y' auf der positiven 
Seite von 0X’ liegt, auch OY durch OY' ersetzt. Es ist also: 
cos (180° + 9) =— cos wg, sin (180° + g) = — sin g. 
Der Winkel 90° + @ wird erhalten, indem der erste Schenkel 0X 
Jurch den Halbstrahl OY' ersetzt und die Drehungsrichtung beibehalten 
wird. Demnach ist: 
cos (90° + 9) = — sing, sin (90° + g) = cos ©. 
Auch der Verlauf der Funktionen tg go und cotg @ kann in ähnlicher 
Weise anschaulich dargestellt werden. Man legt in M die Tangente 
Pa