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Allgemeine Gültigkeit des Additionstheorems 37 
fache Vielecke mit überstumpfen Winkeln hinweisen. Weitere Beispiele 
kommen gelegentlich in der Trigonometrie selbst vor. Bei der in der 
“olgenden Nummer unter d) behandelten Aufgabe werden wir auf einen 
Winkel geführt, der zwischen 180° und 360° liegt. Schwering hat in 
seinen „100 Aufgaben“ für die Aufgabe: Ein Dreieck aus den Stücken 
x, a +b, a + c zu konstruieren, eine Lösung angegeben, bei der der 
Winkel 3 (90° — «) benutzt wird; dieser ist aber überstumpf, sobald 
x < 30° ist. Sind A’, B', €’ die Fußpunkte der Höhen des Dreiecks 
ABC, soist B'C' =rsin2«, U’A'=rsin2ß, A'B'= r sin 27; hier 
tritt jedesmal ein überstumpfer Winkel auf, sobald das gegebene Dreieck 
stumpfwinklig ist. 
Passende Beispiele bieten Gleichungen von der Form: sin 2x = 4, 
208 2x = a u. dgl. 
Wenn man sich hier für den Wert von x auf hohle Winkel be- 
schränkt, so muß man für 2x schon erhabene Winkel zulassen. Sobald 
nan aber dementsprechend auch für x überstumpfe Winkel zuläßt, kommt 
man auf Werte für 2x, die größer sind als vier Rechte usf. In dieser 
Weise wird man immer weiter geführt. 
Sehr deutlich tritt die Notwendigkeit, für den Winkel weder eine 
»bere noch eine untere Grenze zuzulassen, bei der Aufgabe hervor, die 
ne Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen. Freilich kann man die 
Schüler hiermit entweder gar nicht oder doch erst auf einer späteren Stufe 
bekannt machen. 
13. Einige methodische Bemerkungen. Man hat wohl vor- 
zeschlagen, im Beginn des trigonometrischen Unterrichts nur mit den 
Funktionen selbst rechnen zu lassen und erst später ihre Logarithmen 
inzuwenden Wir können uns diesem Vorschlage nicht anschließen. Die 
Art und Weise, wie eine größere Rechnung sachgemäß angeordnet wird, 
xill sorgfältig überlegt und eingeübt sein. Die Schüler müssen es aber ver- 
stehen, trigonometrische Rechnungen mit Anwendung der Logarithmen 
geschickt auszuführen; will man sie auch noch mit den Methoden be- 
zannt machen, bei denen von den Logarithmen kein Gebrauch gemacht 
wird, so wird hierfür Zeit in Anspruch genommen, die besser ausgenutzt 
werden kann. Auch wird in den gebräuchlichen Tabellen den Funk- 
tionen selbst ein zu kleiner Raum zugebilligt, als daß sie bei größeren 
Rechnungen benutzt werden könnten. 
Für den Vorschlag werden zwei Gründe angeführt. Man sagt erstens, 
der Übergang von den Winkeln zu den Logarithmen ihrer Funktionen 
arfordere zwei Schritte, von denen der eine zu den Funktionen, der zweite 
zu den Logarithmen der Funktionen führe; man müsse den Übergang 
erleichtern, indem man anfangs nur mit den Funktionen operieren lasse. 
Diesem Wunsche kommt man dadurch entgegen, daß man die Funk- 
Konen für einzelne Winkel berechnen läßt und daß man die Funktionen 
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