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48 8 8. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
verhältnisse der Seiten als auch die der Winkel zyklisch durch drei Strecken 
dargestellt werden können. Indessen ist es in vielen Fällen angemessener, 
für diesen Zweck drei trigonometrische Funktionen zu benutzen. So 
teilen die Höhen eines Dreiecks die Seiten zyklisch nach den Zahlen 
sotg «x, cotg ß, cotg y und die Winkel zyklisch nach den Zahlen cos «, 
z0s ß, cos y. Um den Simsonschen Satz, daß die Fußpunkte der Senk- 
rechten, die auf die Seiten eines Dreiecks ABC von einem beliebigen 
Punkte P seines Umkreises gefällt werden können, auf die Umkehrung 
des menelaischen Lehrsatzes zurückzuführen, bezeichnen wir die Winkel, 
die die positiven Bogen PA, PB, PC mit der in P an die positive Seite 
gelegten Halbtangente bilden, mit 2, #, vv. Dann kann man die Schnitt- 
verhältnisse der Seiten zyklisch durch die Größen tg 2, tg u, tg v dar- 
stellen. 
In anderen Fällen empfehlen sich für diesen Zweck die Inhaltsmaße 
von drei Dreiecken, die bei zyklischer. Vertauschung der Seiten oder der 
Winkel des gegebenen Dreiecks ineinander übergehen. Auch Produkte 
aus Strecken in trigonometrische Funktionen können für diesen Zweck 
zuweilen gute Dienste leisten. 
4. Die Berührungskreise eines Dreiecks. Aus den Gleichungen: 
I= 809 =5,0, = 502 = 803 
zehen die Beziehungen hervor: 
; I I I A 
(1) Sn SR 5 an“ 
Da aber s = 8, + 5 + 83 ist, erhält man zwischen den Radien der 
Berührungskreise die einfache Beziehung: 
/ 1. 1,1, 1 
2) 0 tt 
Es ist aber auch a =$— 58, =8, +5; usw. Da zudem 27 = ah; 
=b.h = Cha ist, ergeben sich die weiteren Gleichungen: 
‘ 1 1 1 1. 
270 0 Me 
211,1 1 
> 70 0 er 2 
1, 1 1 
93 a 81 + 02 a 2 
Die Gleichungen (1) und (2) können auch physikalisch gedeutet 
werden. Ein elektrischer Strom werde in drei Einzelströme zerlegt. Es 
sei o der Gesamtwiderstand, Z die Spannung zwischen den Verzweigungs- 
gunkten; 01, 02, 03 seien die Einzelwiderstände, S,, 52, S3 die einzelnen 
Stromstärken. Dann bestehen zwischen diesen Größen die drei letzten 
Gleichungen (1) und die Gleichung (2). Das Problem, einen gegebenen 
T