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Berührungskreise des Dreiecks 49 
Strom in drei Einzelströme zu zerlegen, steht hiernach in enger Beziehung 
zu wichtigen Größen, die beim ebenen Dreieck auftreten. 
Indem wir die in I 8 20, 7 (S.370) gemachte Bemerkung beachten, 
ziehen wir aus den Gleichungen (3) den Schluß, daß die zur Seite BC 
gehörende Höhe sowohl durch die Fußpunkte der von den Punkten O, O,, 
als auch durch die Fußpunkte der von den Punkten 0O,, O, gefällten 
Senkrechten harmonisch geteilt wird. Daraus geht aber hervor, daß die 
Halbierende des Innenwinkels an 4 durch die Punkte 0, OÖ, und die 
Halbierende des Außenwinkels an 4 durch die Punkte 0,, 0, harmonisch 
yeteilt wird. 
Die beiden letzten Sätze ergeben sich aber rein geometrisch un- 
mittelbar aus dem Satze, daß die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise har- 
monisch zu ihren Mittelpunkten liegen. Daraus schließen wir, daß die 
zur Seite BC gehörende Höhe in- den vorhin genannten Punktpaaren 
harmonisch geteilt wird. Diese geometrische Eigenschaft führt aber wieder 
auf die Beziehungen (3), und aus ihnen geht die Gleichung (2) hervor. 
Aus den Gleiehungen: 
SL Ak 
> Si $ 03 Q2 
and den entsprechenden Gleichungen für ß und y ergeben sich weitere 
Beziehungen zwischen den Radien 9, 0,, 02, 03 und den Strecken s, S,, 
52, S3, die wir kurz in der Form schreiben können: 
(4) 902 = 548 Qu Qy= 878, 
indem wir unter 2, u, v irgendeine Permutation der Marken 1, 2, 3 
verstehen. 
Die heronische Formel (8 2, 9 (17) S. 29) liefert hiernach folgenden 
Ausdruck für den Flächeninhalt: 
/5) 
I= Vo: 01" 027 08 
Aus einer Formel (4) in Verbindung mit der Gleichung: 
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erhält man die Gleichungen: 
V 0, 02 03 29048, 
0 0; 
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Sobald drei von den Radien 0, 0,, 02, 03 gegeben sind, bestimmt die 
Gleichung (2) den vierten eindeutig. Alsdann ergeben sich die Größen 
S, Sı1, Say Sa aus den Formeln (6). Zur Berechnung der Winkel kann man 
die Gleichungen benutzen: 
X Ss Ss Ss 
ig zz =— if £ tgl 
2 CZ 2 93 2 08 
Killing u, Hovestadt: mathem. Unterricht II