Die Höhen eines Dreiecks 53 
Es sei gestattet, dies an einigen Beispielen zu erläutern. Dabei wollen wir, 
wie im ersten Bande, die Mitten der oberen Höhenabschnitte mit 4,, Bas C, be- 
zeichnen. Der Kreis, der durch die Punkte 4,, 4’, B' geht, hat in H’ die Potenz 
— 272 cos « cos ß cos y; daher enthält er auch den Punkt B,. Da er in 4 die Potenz 
ar? cos x sin fsiny hat und AB, =rsin ß ist, so geht er auch durch B,. Ebenso 
zeigt die Potenz im Punkte C, daß auch der Punkt 4, auf dem Kreise liegt. Da 
Jer Kreis in 4 die Potenz 2r?cos « sin f sin y und in B die Potenz 2r*cos ßsin ysin « 
aat, so geht er durch die Punkte C, und C'. Daß er endlich auch den Punkt & 
anthält, kann man leicht in der verschiedensten Weise zeigen. ; 
Der Punkt H ist Ähnlichkeitspunkt der Dreiecke ABC und 4,B,C,. Daher 
hat der durch die Punkte 4,, B,,C, gelegte Kreis in H die Potenz — 27” cos@« cos ß cos y. 
Er geht also auch durch die Punkte A’, B’',C’. Nun folgt aus den Werten der Potenz, 
lie dieser Kreis in den Punkten A, B.C hat, daß auf ihm auch die Punkte 4,,B5,,C, 
liegen. 
Die Größe des Winkels C, C’ A, zeigt, daß der durch die Punkte 4,,B',C 
gelegte Kreis auch durch C’ geht. Die Werte der Potenz dieses Kreises in H, 4, B,C 
zeigen, wie im ersten Beispiele. daß auch die fünf anderen Punkte ihm angehören. 
6. Der Stewartsche Satz. Die drei Punkte 4, B, C mögen in 
gerader Linie liegen, während ein vierter Punkt P eine ganz beliebige 
Lage haben soll. Um eine Beziehung zu finden, die zwischen den Ab- 
ständen des Punktes P von den Punkten A, B, C besteht, nehmen wir 
zunächst an, der Punkt B liege zwischen den Punkten A und €. Zudem 
bezeichnen wir den Winkel ACP mit 2. Dann ist: 
AP? = AC?+CP?—2AC-CP-cos2 
BP?=—= BC?+CP?—2BC-CP-cos 4. 
Daraus geht die Beziehung hervor: 
BC. AP?! AC-BP!=BC-AC'‘—- AC-BO.+(BO0O—AC)-CP* 
Indem wir hier die Strecken BC, CA und AB nicht in ihrem ab- 
soluten Maße nehmen, sondern mit dem ihnen zukommenden Vorzeichen 
versehen, können wir die letzte Gleichung in der Form schreiben: 
(15) BC-AP?!?+CA-BP?+ AB-CP?+BC-CA:-AB=0 
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Diese Gleichung, die als der Stewartsche Satz bezeichnet wird, ent- 
hält die Punkte 4, B, C gleichmäßig; sie ist daher von der Annahme 
anabhängig, daß der Punkt B zwischen 4 und C liegt. 
Wenn die Strecke AB im Punkte € nach dem Verhältnisse w:v 
yeteilt wird, so kann die vorstehende Gleichung durch die folgende er- 
setzt werden: 
(15a) (wW+»7):CP?=v.-AP!+4u-BP?— AT AB 
Ist speziell C die Mitte der Strecke AB, also u = v, so nimmt die 
AHeichung die Gestalt an: 
(15%) 2.CP?= AP?+4+ BP?—2.AB2