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34 8 3. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
Wir gehen jetzt von drei beliebigen Punkten 4, B, C aus und 
wollen den Ausdruck a- AP? +b.BP?+c.CP?, wo a, b, c beliebige 
Koeffizienten sind, unter Anwendung der Gleichung (15a) umgestalten. 
Nachdem wir die Strecke AB im Punkte D nach dem Verhältnis b: a ge- 
eilt haben, dürfen wir die Summe a + AP? +bd. BP? durch (a + b) + DP®* 
+ 5. AB* ersetzen. In gleicher Weise formen wir den Ausdruck 
(a +b):DP?+c-.CP* um. Teilt der Punkt S die Strecke CD im Ver- 
hältnis (@ + b):c, so zeigt sich, daß die Gleichung besteht: 
a-AP?+b.-BP?+e.CP?=(a+b+ce):SP? 
m d.ce.BO?+c.a-CA?+a-b-AB® 
- a+td+e ) 
wo der Punkt P jede Lage im Raume annehmen kann, 
Jetzt gehen wir von %' Punkten A’, aus, wo % eine beliebige Marke 
aus der Reihe 1, 2,...»' sein soll. Zudem fügen wir w' Koeffizienten 
m', hinzu und setzen m' = X m',. Wir nehmen an, es lasse sich, solange 
w' unterhalb einer gewissen Grenze bleibt, bei jeder Wahl der Punkte 
A', und der Koeffizienten m'„, bei der die Summe m nicht verschwindet, 
ain Punkt S' in der Weise bestimmen, daß die Abstände der Punkte 
A'; und des Punktes S' von einem beliebigen Punkte P des Raumes 
durch die Gleichungen verbunden sind: 
3m, AP? = m' ‚SP + @, 
wo die Größe ®' nur von der gegenseitigen Lage der Punkte 4', und 
von den Koeffizienten m', abhängen soll. 
Zu diesen Punkten nehmen wir n" weitere Punkte 4"; und ent- 
sprechend x" weitere Koeffizienten m”; hinzu. Wenn dann m' = Zw; 
von null verschieden und %" <w ist, so gibt es nach unserer Annahme 
einen Punkt S" von der Beschaffenheit, daß bei beliebiger Lage des 
Punktes P die Gleichung besteht: 
3m';. A'; P?= m. S"SP? + @'', 
wo die neue Größe ®' durch die Koeffizienten m''; und die Punkte A", 
vestimmt wird. 
Hierbei dürfen wir annehmen, daß von den W' + %' Punkten 4', 
and A"; keine zwei zusammenfallen. Die Gesamtheit dieser Punkte werde 
in irgendeiner Reihenfolge mit 4,, 4,,... 4, bezeichnet, wo n=n' + m ist. 
Auch soll jedem Punkte 4, ein Koeffizient m, so zugeordnet werden, daß ist: 
Zm. A, P? = Zw... AP? + Zm';. A", P* 
Dann geht aus den letzten Gleichungen in Verbindung mit der 
Gleichung (15a) die Möglichkeit hervor, einen Punkt S so zu bestimmen, 
Jaß die Gleichung besteht: 
(16) Zm,: A,P=m- SP?+ ®.