Sätze über den Schwerpunkt. 
Wenn ABCD ein Parallelogramm ist, so ist: 
AC? = AB? +BC?—2AB-BC-cos ABC, 
BD = AB'+4AD’—2AB-AD-cos 54D. 
Da aber AB= CD, AD= BC. << ABC +BAD=180° ist, folgt 
durch Addition: 
ACC + BD= AB + BO +CD'+ DA’, 
ader: 
In jedem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Dia- 
gonalen gleich der Summe der Quadrate über den Seiten. 
Dieser Satz, der unter Hinzunahme des Schnittpunktes der Diagonalen 
auch aus der Formel (15b) hervorgeht, verdient als Erweiterung des 
pythagoreischen Lehrsatzes bezeichnet zu werden. 
Wir möchten noch darauf hinweisen, daß der Kosinussatz auch be- 
autzt werden kann, um die Resultante aus zwei Kräften zu berechnen. 
7. Abstände der merkwürdigen Punkte eines Dreiecks von- 
sinander. Wie früher bezeichnen wir mit H den Höhenpunkt, mit X 
den Mittelpunkt des Umkreises und mit 0, 0,, 0, 0 die Mittelpunkte 
der In- und Ankreise. S soll der Schwerpunkt, $ der Mittelpunkt des 
Feuerbachschen Kreises sein. 
Um die Entfernung der Punkte X und O0 zu berechnen, kann man 
beachten, daß KA =r, 04 = 4r sin £ sin % und & 0AK = BZ7 ist. 
Daraus ergibt sich: 
2 — 
KO= + (4r sin £ sin 2) — 87? sin 5 sin z coß Er 
= 7? — 87? sin £ sin SS (cos f — 2 sin £ sin 7) 
8 Rn Ban Ze0aftt? ‚x Boy 
=? — 8r* sin 5 Sin 5 COS — = 7? — 87* sin 5 sin 5 Sn — 
oder: 
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KO?=r* — Q2ro. 
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Diese Formel geht auch aus folgender Erwägung hervor. Nennen 
wir D den Schnittpunkt der Geraden A0 mit dem Umkreise, so ist 
0D = DB =2r sin 5. Da aber 40 = 4r sin £ sin £ ist, so ist die 
Potenz des Kreises (X) im Punkte O gleich — 87* sin © sin £ sin 2 
= — 2ro. Hieraus ergibt sich sofort die Formel (18). 
Auf ähnliche Weise kann man den Abstand der Punkte KX und O, 
bestimmen. Beachtet man, daß 40, = 4r cos f cos T ist, so ergibt sich 
yanz wie vorhin: