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58 8 3. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
KO?=r? + 8r* sin = cos f cos z 
oder 
(19) 
KO}?=r"+270, 
Der Kreis (K) hat im Punkte O, die Potenz: 0,.D- 0,4, die gleich 
2r sin 5 .‚4r cos 5 cos z = 87? sin z cos £ cos < = 270, ist. Auch 
hieraus geht die Formel (19) hervor. 
Die Formeln (18) und (19) wenden wir auf das Dreieck 4’ B'C', 
das Dreieck der Höhenfußpunkte, an. Der Umkreis des neuen Drei- 
ecks ist der Feuerbachsche Kreis ($) für das Dreieck ABC. Wenn dies 
spitzwinklig ist, so ist sein Höhenpunkt H der Mittelpunkt des Inkreises 
von A'B'C'. Bezeichnen wir mit r' den Radius des Umkreises, mit 0’ 
Jen des Inkreises des Dreiecks A'B'C', so ist nach (18): 
$H?=y?— Qy' 0. 
Da aber = © r, $H = z HK ist, so geht hieraus die für das 
spitzwinklige Dreieck gültige Formel hervor: 
20a) HK!=y?—4rg. 
Wenn aber das Dreieck ABC stumpfwinklig ist, so ist der Punkt H 
Mittelpunkt eines Ankreises. Dann erhalten wir: 
‘20 b) HRK?!=y1+4r0. 
Die Verschiedenheit in den Vorzeichen fällt weg, wenn man die 
für o' oben (Nr. 5, S. 52) gefundenen Ausdrücke einsetzt. Es wird dann: 
20) HK?!=r?_ 8r? cos « cos ß cos 7. 
Verlängert man die Strecke AH bis zu ihrem Schnittpunkte £ mit 
dem Umkreise, so ist die Potenz des Umkreises im Punkte gleich 
HA: HE=-—8r?cos «cos ß cos y. Dieser Wert der Potenz führt wieder 
auf die Gleichung (20). 
Man kann aber auch beachten, daß AK =r, AH =2r cos «, 
X HAK=ß- vy ist. Hiernach ist: 
HK?= 7? + 4r? cos? « — 4r? cos « cos (ß — 7) 
= y2_ Ar? cos « [cos (ß — y) — cos (ß + 7)] 
= Br? cos « cos ß cos 7. 
Um die Entfernung der Punkte H und O0 zu berechnen, kann man 
in folgender Weise‘verfahren. Es ist: 
AO = 4r sin £ sin %, AH =2rcos a, X HAO0O = + zB, 
somit: 
OH? = (27 cos ww) + (4r sin £ sin 1) — 167? sin ß sin / cos « cos EZ,