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V Vorwort 
Bande die Theorie des Rauminhalts ausführlich begründet, aber die Behand- 
lung der einfachsten Körper führt noch zu einer Reihe von weiteren Fragen, 
an denen wir nicht vorübergehen konnten. Namentlich machte das Cava- 
lierische Prinzip eine eingehende Besprechung notwendig. Da es nicht zu den 
Axiomen gehört, kann auf einen Beweis nicht verzichtet werden. Der all- 
gemeine Nachweis ist freilich wegen seiner Schwierigkeit für die Schule ganz 
angeeignet; diese braucht aber das Prinzip nur für wenige Körper, die einen 
sehr einfachen Beweis gestatten. 
Die regelmäßigen Körper finden, soweit man aus den Lehrbüchern er- 
sehen kann, bald eine ganz oberflächliche, bald eine sehr ausführliche Be- 
handlung. Die schönen Eigenschaften, durch die sich diese Gebilde aus- 
zeichnen, geben ihnen einen besonderen Reiz, und wir meinen, der Unterricht 
sollte sich. mit ihnen etwa in dem Umfange befassen, der in $ 17 geboten 
wird. Zur weiteren Orientierung für den Lehrer ist in 818 der geometrische 
Zusammenhang der fünf Körper dargelegt. Daran schließen sich in 819 die 
Elemente der Kugelteilung, die im Unterricht wohl nicht ganz unberücksichtigt 
bleiben kann. 
Wir haben geglaubt, unseren Lesern einen Dienst zu erweisen, indem wir, 
in 8 14, eine Darstellung der Methode zu geben versuchten, nach der M. Dehn 
denInhalt beliebiger Oberflächen und die Länge krummer Linien auf den Raum- 
'nhalt zurückführt, ein Gedanke, der dem Standpunkte der natürlichen Geo- 
metrie Rechnung trägt. Da Herr Dehn seine Ideen bisher nur in einem Vortrage 
mitgeteilt hat, so fällt die Verantwortung für ihre Wiedergabe uns zu. 
Dem Eulerschen Lehrsatze ist in $ 16 eine eingehende Darstellung ge- 
widmet. Von wesentlichem Einfluß auf die Gestaltung dieses Abschnittes waren 
ausführliche briefliche Mitteilungen des Herrn Dehn, und es ist uns eine sehr 
angenehme Pflicht, ihm auch an dieser Stelle unseren Dank dafür auszusprechen. 
Die Anwendungen der elementaren Mathematik sind in weitem Umfange 
herangezogen. Durch nichts kann der Unterricht so sehr belebt und gegen Ver- 
knöcherung so wirksam geschützt werden, wie durch ständige Fühlung mit 
Jer Praxis. Es war unser Bestreben, über die verschiedenen Anwendungs- 
gebiete zu orientieren und die Sprödigkeit einzelner Stoffe zu überwinden. Dabei 
hat uns Herr Oberlehrer Daniel durch Rat und Tat in so liebenswürdiger Weise 
unterstützt, daß wir uns freuen, ihm auch hier unseren Dank aussprechen zu 
zönnen. Ausdrücklich heben wir hervor, daß die bisher noch zu wenig be- 
rücksichtigte Nautik wohl das dankbarste Anwendungsgebiet bildet. Zugleich 
sei für astronomische Rechnungen das nautische Jahrbuch als sehr geeignetes 
Hilfsmittel empfohlen; das astronomische Jahrbuch ist wegen. seiner Strenge 
*ür die Schule weniger geeignet. 
Münster ı. W., im April 1913. 
W. Killing. A, Hovestadt. 
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