I. Mathematische Hilfsmittel. 
Wenn die Funktion f(g@) gerade ist, d. h., wenn f(—@) = f(g) ist, so 
werden 
2 
= 5 ff) coskgpdg 
0 
bb: = 0. 
Wenn die Funktion ungerade und außerdem gegen - symmetrisch 
ist, so daß (5 —o) =} (3 + g), so lautet ihre Entwicklung 
F(g) = b, sing + 6;sin3g + b;sin5g + ...: (1,3) 
sie schreitet also nur nach ungeraden Vielfachen von @ fort. Wenn die 
Funktion ungerade und außerdem gegen > antisymmetrisch ist, so daß 
f (= —g) = —f (3 +9); so lautet die Entwicklung 
(9) = bzsin2g + bysin4gp + bysin6gp +...) (1,3a) 
sie schreitet also nur nach 
geraden Vielfachen von & 
fort. 
Entsprechend hat man 
bei einer geraden gegen 
z symmetrischen Funk- 
tion in der cosinus-Ent- 
wicklung nur die geraden 
Vielfachen von @ und bei der geraden, gegen > antisymmetrischen 
Funktion nur die ungeraden Vielfachen von ®. 
Wir geben ein Beispiel, welches später zu verwenden sein wird. 
Ein Doppeltrapez habe die Gestalt der Abb. 1l. Es werde x = — cos © 
gesetzt, so daß, wenn x von —1 bis +1 geht, @ von 0 bis x läuft. 
Die so gegebene Funktion ist symmetrisch gegen 5 und möge als 
ungerade, periodische Funktion der Periode 2 x fortgesetzt werden. 
Wenn dann noch y, = *ym, ß = — cos q@, gesetzt wird, so findet man 
y= b, sing + bssin3g + bssin5@ + ..., 
—_ 4 Ym 1—% ß I 1— + 
Öak-ı = z(2k—1) Hz ß 18 COS (2k—1) 0] . 
Nach einem Satz von Weierstraß! kann man jede stetige und 
periodische Funktion f(@), mit der Periode 2x. durch ein endliches 
trigonometrisches Polynom 
(1.2b} 
n 
1 8) . 
T (9) = 5 Dot > (px cos kg + gr sin ko), 
k=1 
1 Weierstraß, Werke, Bd. 3 S. 1—37.