8 2. Zusammenhang von Stücken der Ebene und des Raumes. Vektoren. 5 
Zum Rechnen mit Vektoren bemerken wir folgendes: 
Wir bezeichnen Vektoren immer mit großen oder kleinen deutschen 
Buchstaben, seine skalaren Komponenten mit den entsprechenden 
lateinischen Buchstaben; bedient man sich der Schreibweise mit den 
Einheitsvektoren i, j, f, so wird also: 
A=[4z, 4y, A} = 4x7i+ 4yj + 4zE£. 
Das skalare Produkt zweier Vektoren £ und B schreiben wir: (A, B), 
das Vektorprodukt 
1A, B] a 147 Ay A 
|B. Bu B» 
er 
1e 
345 
n 
nNn 
4, 
it 
ee 
U 
Ist A ein Ortsvektor, abhängig von den drei Raumkoordinaten 
r, Y, 2, so spielt eine wichtige Rolle der Rotor von A. Er ist: 
— 042 _ ÖAy‘ ’ (Zn 0 Az ’ dAy_ 04x) 
vot A = (5% 02 )i+( Ze) (A Öy )E 
Führt man den Hamiltonschen Operator Nabla 
OÖ, OÖ 4 Ö 
ain. so kann man mit ihm wie mit einem Vektor rechnen. Dann wird 
L ] 
rot A= [7,1 
Ar 4y A4z;| 
Der Gaußsche Integralsatz, von dem wir mehrfach Gebrauch 
machen werden, verwandelt ein Raumintegral in ein Oberflächenintegral. 
Es sei ein Vektorfeld A (x, y, z) mit den skalaren Komponenten 4„, 
4y 4, gegeben, so daß 4,, A, 4, stetige partielle Ableitungen erster 
Ordnung nach x, y und z besitzen. 
Wir betrachten einen einfach zusammenhängenden Teil des Raumes R, 
der von einer geschlossenen Fläche F begrenzt wird. Von F werde 
vorausgesetzt, daß sie sich in eine endliche Anzahl von Stücken mit 
stetiger Tangentialebene zerlegen läßt; ferner nehmen wir an, daß eine 
den Körper durchdringende Gerade die Fläche F nur in einer endlichen 
Anzahl von Punkten schneidet; dann besteht die Gleichung 
[ff/ayadar=—f (A, mat; diva= Ar ZA AR. (1,6) 
R En 
Dabei bedeutet dr ein Raumelement von RB, df ein Flächenelement 
von F, n einen Einheitsvektor, der zur Fläche F senkrecht nach dem 
Innern von R weist. 
Der Integralsatz von Stokes verwandelt ein über ein Flächen- 
stück FF erstrecktes Integral in ein Integral über seine Berandung €.