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IT. Ergebnisse der klassischen Hydrodynamik.
wenden wir den Gaußschen Integralsatz S. 5 (1,6) an. Wir haben den
dortigen Vektor A durch c zu ersetzen und erhalten:
/f//divedr=— ff (e,ndf.
R FF
Da aber div c = div rot D, wie aus (2,10) unmittelbar folgt, den Wert
Null hat, so bekommen wir:
Siem dt=0.
F
Da nun der Konstruktion der Wirbelfäden entsprechend in der
Mantelfläche unserer Röhre der Vektor c überall die Richtung der Fäden
hat, so muß dort seine Normalkomponente (c, n) überall
Null sein, während die nach dem Innern unseres Raum-
teiles genommene N ormalkomponente bei g, mit dem Be-
trage des Vektors c, bei g, mit dem negativ genommenen
Betrage von c übereinstimmt. Bezeichnen wir diese Be-
träge von c mit c, und c,, so haben wir also
Ci dı = Ca - (2,13)
Man nennt cqg das Moment des Wirbelfadens. Wir
haben damit das Resultat, daß das Moment eines
Wirbelfadens längs des ganzen Fadens konstant
sein muß.
Abb. 13. Kine der wichtigsten Folgerungen aus diesem Satze
As ist die, daß ein Wirbelfaden im Innern des Flüssigkeits-
raumes weder beginnen noch aufhören kann. Es müssen
also alle Wirbelfäden entweder geschlossene Linien bilden
oder aber an den Grenzen des Flüssigkeitsraumes bzw. im
nendlichen anfangen und enden.
Es sei nun weiter im Flüssigkeitsraum eine geschlossene Kurve €
gedacht, welche die Begrenzung eines Flächenstückes F ist. Auf diese
Fläche und ihre Berandung € wenden wir den Satz von Stokes 8. 6
(1,7) an. An Stelle von A = rot B haben wir hier C = rot vD zu setzen.
Wir finden
fSfendf= [vw,ds. (2,14)
N cr
Das Integral / v;ds nennt man die längs C genommene Z irkulation
C
des Strömungsfeldes. Die Gleichung (2,14) bedeutet also, daß die
Zirkulation des Strömungsfeldes längs einer geschlossenen
Linie gleich der Summe der Momente aller von dieser Linie
ımschlungenen Wirbelfäden ist.
Wir betrachten nun nochmals eine geschlossene Linie; sie sei aus
bestimmten Flüssigkeitsteilchen gebildet und habe zur Zeit t= 0 die
Gestalt Co. Zur Zeit £ möge sie noch immer aus den gleichen Flüssigkeits-
