$ 5. Geschwindigkeitsfeld eines von Wirbeln durchsetzten Flüssigkeitsraumes. 2] 
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teilchen bestehen, aber in C übergegangen sein. Dann kann man aus den 
Eulerschen Gleichungen (2,2) S. 16 schließen — wir wollen den Beweis 
hier übergehen —, daß 
[vs ds = [vs ds, (2,15) 
N Ü 
d.h. aber: Die Zirkulation längs einer geschlossenen Flüssig- 
keitslinie ändert sich mit der Bewegung der diese Linie 
bildehden. Flüssigkeitsteilchen nicht. 
Wendet man diesen Satz auf eine geschlossene Linie an, die ganz 
in der Mantelfläche eines Wirbelfadens liegt, ohne die Zylinderachse zu 
amschlingen, so erkennt man, daß die Zirkulation längs einer solchen 
Linie Null ist und Null bleiben muß. Daraus folgt aber: Die Flüssig- 
keitsteilchen, die zu irgendeiner Zeit dem Wirbelfaden 
angehört haben, gehören im Verlauf der Bewegung dauernd 
demselben Wirbelfaden an. 
Da die Zirkulation längs einer in der Mantelfläche des Wirbelfadens 
liegenden und die Achse der Röhre umschließenden Linie zeitlich unver- 
ändert bleibt, so folgt, daß das Moment eines Wirbelfadens 
nicht nur, wie wir gesehen haben, längs des ganzen Fadens 
konstant ist, sondern auch mit der Zeit unverändert bleiben 
muß. 
Die angeführten Sätze sind die berühmten Helmholtzschen! 
Gesetze der Wirbelbewegung. Wir haben aus ihnen den Schluß zu ziehen, 
daß in einer idealen Flüssigkeit Wirbel niemals entstehen oder vergehen 
können. Im Anschluß an die Helmholtzschen Sätze hat Sir William 
Thomson (Lord Kelvin)? den Satz bewiesen, daß in einer reibungs- 
losen Flüssigkeit auch dann noch längs einer geschlossenen 
Flüssigkeitslinie die Zirkulation sich nicht mit der Zeit 
ändern kann, wenn ein drehungsfreies Kraftfeld vorhan- 
den ist. Auch dann können also Wirbel nicht entstehen. 
S 5. Das Geschwindigkeitsfeld eines von Wirbeln durch- 
setzten Flüssigkeitsraumes. Biot- Savartsches Gesetz. 
Bernoullische Gleichung. 
Wir haben gesehen, daß wegen der Konstanz der Masse und der 
{nkompressibilität [vgl. (2,4), S. 17 ] div v = 0 sein muß. Die Vektor- 
analysis lehrt aber, daß jeder Vektor, dessen Divergenz verschwindet. 
' Helmholtz, Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den 
Wirbelbewegungen entsprechen. J. reine angew. Math. Bd. 40 (1858) S. 25—55. 
Wiedergegeben in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 79 
Verlag von W. Engelmann). 
* Lord Kelvin, On Vortex-Motion. Edinb. Troy. Soc., Trans. Bd. 25 (1868). 
Vgl. auch Prandtl-Tietjens I Nr. 84 8. 177.