II. Ergebnisse der klassischen Hydrodynamik. 
S 6. Potentialströmung. Integration der Eulerschen 
Gleichungen. . 
Von besonderem Interesse ist der Fall, daß der Flüssigkeitsraum von 
Wirbeln frei ist, d.h. 
rot vd = 0. 
Die damit identischen Gleichungen: 
0U0z  O0v Öv Ö v2. dv Öwv ; 
öy 02) 0a “dm? 0w OU (2,26) 
sind nichts anderes als die Bedingungen dafür, daß v„ dx + v,dy + v,dz 
das vollständige Differential einer Ortsfunktion & (x, y, z) ist: 
do = v,dx + vydy + v,dz, 
d.h. aber: 
D = grad ©. 
Die Ortsfunktion @ wird Geschwindigkeitspotential genannt, 
und die Strömung heißt dann eine Potentialströmung. 
@ ist, wie man sieht, nur bis auf eine von x, y, z unabhängige Größe 
vestimmt, welche im allgemeinen Falle noch von der Zeit abhängig 
sein kann, im Falle der stationären Strömung aber eine Konstante ist. 
Legen wir von der Stelle Po (%o, Yo, zo) Nach P (x, y, z) durch den 
Flüssigkeitsraum irgendeine ganz in diesem gelegene Kurve, so ist 
P P P 
Ög 
o= fda= frde= f wsds, (2,28) 
D P. P, 
wenn v, die Komponente von v in Richtung s bedeutet. Der Stokessche 
Satz (2,14). 5. 20 sagt jetzt aus: Wenn € eine ganz im Flüssigkeitsraum 
gelegene geschlossene Kurve ist, so muß 
/ veds = / do = 0 
C Oo 
sein; 9 bekommt also denselben Wert wieder, wenn man auf einer ge- 
schlossenen Kurve von irgendeiner Stelle ausgehend durch den Flüssig- 
keitsraum zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Ist der Raum einfach 
zusammenhängend, so heißt das, daß © eine eindeutige Funktion des 
Ortes im Flüssigkeitsraum ist. 
Wenn in einem einfach zusammenhängenden Flüssigkeits- 
raum keine Wirbel vorhanden sind, so ist das dort existierende 
Geschwindigkeitspotential eine eindeutige Funktion des 
Ortes. 
Die Flächen © = const. stellen eine unendliche Schar von Flächen 
zleichen Geschwindigkeitspotentials dar; die Integration der 
Differentialgleichungen der Stromlinien, vgl. (2,1) S. 15, 
dx d dz 
dw Br = (2,29) 
OÖ Öy Öz 
(2,27)