Die quadratischen Irrationellen. 41 
und die Summe der mittleren Coefficienten durch den gemein 
samen Coefficienten theilbar ist. Zwei äquivalente Formen 
dieser Art sollen benachbarte Formen heissen, und zwar 
die neue der ursprünglichen nach rechts, diese der neuen 
nach links hin benachbart. Umgekehrt sind zwei Formen, 
deren Determinanten gleich sind und deren Coefficienten die 
angegebenen Eigenschaften haben, einander eigentlich äqui 
valent, und die eine geht durch eine Substitution von der 
Form (7), in welcher d dem negativ genommenen Quotienten 
aus der Summe der mittleren und dem gemeinsamen Coeffi 
cienten gleich ist, in die andere über. 
2. Wir bezeichen nun zur Abkürzung mit 
(A 0} L 0 , 
eine quadratische Form mit den drei ganzzahligen Coefficienten 
A 0 , B 0 , A l und nehmen an, ihre Determinante JD — B 0 2 — A 0 A 1 
sei positiv und keine Quadratzahl, von ihren Wurzeln 
w o — 27— > — 27— 
aber sei die erstere positiv. Wir können dieselbe dann, da 
sie irrational ist, in einen unendlichen Kettenbruch 
ß 0 = Oo5 Pl> P2, Ps, ' • •) 
entwickeln und wollen seine Natur genauer untersuchen. Zu 
diesem Zwecke denken wir uns seine aufeinanderfolgenden 
Näherungsbrüche 
wo also Cq ==* 1, Co = 0, c x = p 0 , c[ = 1, u. s. w. ist. Trans- 
formirt man nun die Form (2 0 , B 0 , A t ) mittels nachstehender 
Substitutionen: 
(C 0; Cg\ / C2, C 3 \ 
\C 0 , Cj/ cj 
so entsteht eine Reihe anderer quadratischer Formen 
(A t , B 1: A 2 ), (A 2 , B 2 , A 3 ), (A 3 , B 3 , 2 4 ), • • 
welche, wegen der allgemeinen Beziehung 
c[c i+1 - ^ c/ +1 = (—iy +1 ,