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würde. und dafs der etwa auftretende Reft nicht von der Form der Zahl, fon- 
dern nur von derZifferfumme allein abhängig ift, "aus welcher gleich bei ihrer 
Bildung (durch das Hinauflegen fämmtlicher Kugeln auf den Einheitenftab) alle 
möglichen 9 ausgefchieden werden können. 
Um das Theilbarkeitsgefetz für den Divifor II 
wieder eine ganz willkürliche Anzahl Kugeln auf die einzelnen Stäbe der Mafchine 
ftecken, nehme dann eine Kugel vom dritten (Hunderterftab), lege fie auf den Ein- 
heitenftab und frage einen Schüler: Welche Veränderung habe ich dadurch mit 
der vorgelegten Zahl vorgenommen? 
Nachdem diefe Frage von dem Schüler 
wort begründet wurde, richte er an einen zweiten die Frage: 
etwa vorhandene Reft gegen den Divifor II geändert? 
Nach der richtigen Beantwortung diefer Frage lege der Lehrer fämmtliche 
Kugeln des dritten Stabes auf den Einheitenftab. Sollte die Anzahl der Kugeln 
die Zahl ıı überfteigen oder erreichen, fo weife der Lehrer darauf hin, dafs man 
auch hier je ıı Kugeln weglaffen kann und blos den Reft zu berückfichtigen hat. 
Hierauf nehme er eine Kugel vom fünften Stabe und lege fie auf den erften 
(Einheitenftab) und wiederhole diefelben Fragen. Das gleiche Verfahren ift mit 
den Kugeln am 7., 9. u. f. w. Stabe fortzufetzen. 
Nun nehme der Lehrer eine Kugel vom vierten Stabe (Taufenderftab), lege 
Ge auf den zweiten (Zehnerftab), wiederhole die vorigen Fragen, und lege fämmt- 
liche Kugeln des vierten Stabes auf den zweiten. Ebenfo verfahre er mit fämmt- 
lichen Kugeln des 6., 8. u. f. w. Stabes, auch hier alle Vielfachen von II aus- 
fcheidend.* 
Durch diefen Vorgang wird die Beflimmung des Reftes einer beliebig 
grofsen Zahl auf die Auffuchung des Reftes einer zweizifferigen Zahl zurückgeführt. 
Da aber allen zweizifferigen, durch ıı theilbaren Zahlen die Eigenfchaft zukommt, 
dafs fie mit zwei gleichen Ziffern gefchrieben werden, fo wird der fprachgewandte 
Schüler leicht im Stande fein, das refultirende Theilbarkeitgefetz in Worten aus- 
zudrücken. 
Die fo gewonnene z\ 
pofitiven Reft, welchen‘ die vo 
bei den bis jetzt in den mathematifc 
nicht immer der Fall ift. 
Die Kenntnifs des kleinften pofitiven Reftes gegen die Diviforen 9 und II 
ift jedoch fowohl für die Theorie als auch für die Praxis fehr wichtig, da wir mit 
Hilfe derfelben die Richtigkeit unferer Rechnungen bei der Multiplication, Divi- 
fon, beim Potenziren und Wurzelausziehen dekadifcher Zahlen auf eine höchft 
einfache und fchnelle Weife einer Prüfung unterwerfen können. Durch die voraus 
gefchickten Betrachtungen wurden wir in den Stand gefetzt, den kleinften pofiti- 
ven Reft für den Divifor ıı ebenfo leicht, wie für den Divifor 9 zu beftimmen, 
und können nach Belieben die Neuner- oder Elferprobe anwenden. Da jedoch 
jede Probe, für fich allein angewendet, keine mathematifche Gewifsheit der Rich- 
tigkeit des Refultates gibt, fo gewinnt durch die Verbindung beider Proben 
unfer praktifches Rechnen einen hohen Grad von Sicherheit. Profeffor Dr. Eduard 
Heis, welcher fich durch feine vorzügliche Sammlung von Beifpielen und Auf- 
gaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra fehr wefentliche Verdienfte 
um die Verbreitung gediegenen mathematifchen Wiffens in Deutfchland und 
Oefterreich erworben, fagt in der 34. Auflage derfelben, Seite 52: „Die 
abzuleiten, laffe der Lehrer 
richtig beantwortet und die Ant- 
Wurde dadurch der 
veiziffrige Zahl gibt uns aber auch ftets den kleinften 
rgelegte Zahl gegen den Divifor ıı hinterläfst, was 
hen Lehrbüchern durchgeführten Methoden 
* Der allgemeine Beweis befteht in Folgendem. 
Es feiN —=ä, + 102, + 10%, + 10°, 4 . lol 18m, fomuls 
weil, so2MI = ro (mod, ir)und To ı (mod. ıı) if, 
N=Ea, +3 +3+:-. +10, +, +84, - ) (mod. ır) oder 
N=s, + 10s, (mod. ı1) fein.