CAUCHYS INTEGRAL. REIHENENTWICKELUNGEN. 
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Null sein. Hierdurch erhalten wir keine Erweiterung der Funk 
tion auf Punkte ausserhalb des Flächenstücks, denn die Mono- 
genität hört auf der Randkurve auf. Wollen wir die Funktion 
erweitert haben, so müssen wir die Begrenzung des Flächenstücks 
erweitern; das kann geschehen, so lange wir keinen singulären 
Punkt in das Flächenstück aufnehmen. Unter diese muss man 
nicht nur Pole und wesentlich singuläre Punkte rechnen, son 
dern auch Verzweigungspunkte, da die Aufnahme eines solchen 
Punktes die Eindeutigkeit der Funktion auf heben würde. Wir 
können jedoch auch die Formel auf eine Riemannsche Fläche 
anwenden, wenn wir nur beachten, dass t dann mehrere gerade 
über einander liegende Punkte darstellt, so dass wir, wenn 
mehrere von diesen in dem begrenzten Flächenstück liegen, 
auf der rechten Seite von (1) die Summe der zu diesen Punkten 
gehörenden Funktionswerte erhalten. Das Integral stellt des 
halb nur die Funktion an solchen Stellen dar, wo nur Teile 
von einem der Blätter zum Flächenstück gehören. Wir wollen 
beispielsweise annehmen, dass die Funktion eine zweiblättrige 
Riemannsche Fläche mit zwei Verzweigungspunkten habe, die 
durch einen Verzweigungsschnitt verbunden sind. In dem oberen 
Blatt grenzen wir ein Flächenstück ab, das keinen der Ver 
zweigungspunkte enthält, und wählen im Flächenstück einen 
Punkt t v Ferner sei t 2 der gerade darunter liegende Punkt 
des unteren Blattes. Nun können wir unser Flächenstück über 
den Verzweigungsschnitt hinaus erweitern, so dass wir in das 
untere Blatt hinunterkommen. Das Integral stellt beständig 
f(t^) dar, bis wir durch die Erweiterung t 2 in das Flächenstück 
aufgenommen haben; dieser Punkt ist ein Pol mit dem Resi 
duum f[t 2 ), und nun stellt das Integral die Summe der beiden 
Funktionswerte dar. 
73. Aus (1) erhält man 
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Nullpunkte 
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und stetig 
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tücks gilt, 
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