ottenere dal Teorema 3, per determinare tutti i coefficienti b r st . I termini 
di ordine minimo danno immediatamente 
b°oo = bio — *•* — 1 ba-1,0 — 0 ì b, 
(24) 
00 
Teorema 4. Gli N valori dei moduli trasformati k 2 = v 8 sono radici di 
una equazione di grado N che ha i coefficienti funzioni razionali di k?~ u*. 
Infatti, se poniamo nella equazione (19) successivamente v, ve 4 , 
ve 4 ,..., ve 4 in luogo di y e facciamo il prodotto dei risultati, otteniamo 
una equazione la quale contiene soltanto potenze intere e positive di z> 8 = A 2 , 
che è di grado N e ha per radici i moduli trasformati 
pX 2 , k 2 ) = 0 . 
(25) 
Ma queste sostituzioni successive, e questo prodotto equivalgono a porre suc 
cessivamente u, ue 4 , ue 4 ,... ue 4 in luogo di u e moltiplicare i 
risultati. Dunque 1’ equazione (25) avrà i coefficienti funzioni razionali di 
k 2 ==u 2 , come volevamo dimostrare. 
14. 
La funzione g{us) definita dalla espressione analitica 
(1) 
la quale ha un significato soltanto per i valori complessi di m che hanno 
la parte immaginaria differente da zero e positiva e che serve a determi 
nare in questo campo le radici dell’ equazioni modulari, gode molte impor 
tanti proprietà che passiamo a dimostrare. 
Alla funzione (p{w) conviene aggiungere la funzione ip{nj) la quale è 
definita, nel medesimo campo delle funzioni g(ro), dalla espressione analitica 
(2) 
if(tà) — II 
_j_ g(2»n-i)7nra ' 
Denotando con KeK' gl’ integrali ellittici completi di prima specie, abbiamo