606 III, 3. Allgemeine Auflösung des functionentheoretischen Grundproblems. 
der ffi durch z{co) und ¿^(co) = Vf(ßj bezeichnen wollen. Betrachten 
wir da zuvörderst z{co) für sich, so wird jeder mit 0(0) gleich 
berechtigte Modul Zk{&) wieder eine zweiwertige Function der F^ 
liefern, welch’ letztere bekanntermassen von z linear abhängig ist. Den 
ft Operationen V k entsprechen so ft lineare Substitutionen von z: 
(4) 
_ H z + \ 
2k Cjk* + d k ’ 
welche insgesamt eine Gruppe bilden. Was die Ordnung dieser letzteren 
Gruppe angeht, so kann dieselbe nur ft oder y sein. Unsere hyper 
elliptische Fläche gestattet nämlich auf alle Fälle die durch z = z } 
zf = — z x dargestellte Transformation in sich. Findet sich diese 
unter den ft Transformationen der F fl in sich, welche der zur zu 
gehörigen G fl entsprechen, so werden ersichtlich je zwei unter den 
ft Transformationen (4) identisch ausfallen, so dass diese Substitutionen 
insgesamt eine G^ bilden. Es ist nun leicht zu sehen, dass der 
T 
hiermit skizzierte Fall der allein mögliche ist. Man erinnere sich 
nämlich, dass nach p. 342 die Classe unserer ausgezeichneten f« des 
Geschlechtes notwendig > 6 ist, und dass diesem Umstande zu 
folge in der zur r /£ gehörenden G fl die parabolischen Modulsubstitu 
tionen (z. B. S) cyclische Untergruppen einer Ordnung > 6 liefern. 
Auf der anderen Seite muss die Grüppe der Substitutionen (4) eine 
solche sein, wie sie in der Theorie der regulären Körper auftritt, und 
von diesen hat keine hier in Betracht kommende eine cyclische Unter 
gruppe einer Ordnung > 6*). Wir haben sonach das Resultat; Die 
zweiwet'tige Function z(co) erfährt gegenüber den g Substitutionen des 
liepräsentantensystems ~ lineare Substitutionen (4), die eine G fl bilden; 
T 
aus ihr entspringt die G M der ausgezeichneten durch Combination der 
** Substitutionen (4) mit der einzelnen: 
u 
(5) zf = — z x . 
Diese Überlegung ergiebt uns sogleich ein endgültiges Resultat 
über das Auftreten von ausgezeichneten Untergruppen Pu, die zum 
*) Man könnte vielleicht glauben, dass die Gruppe der Substitutionen (4) 
eine Diedergruppe sei mit n — (i: 2, oder gar eine cyclische mit n = (i. In 
beiden Fällen müssten ersichtlich alle elliptischen Modulsubstitutionen der 
Periode 3 in der enthalten sein, was nach p. 341 ausser von der Gesamt 
gruppe f nur noch von der damals genannten f 2 der Stufe zwei gilt. Die hier 
mit bezeicbnete Möglichkeit bleibt also im Texte ausgeschlossen.